1. 平面向量數量積的運算
例題1 已知下列命題:
其中正確命題序號是 ②、④ .
點評: 掌握平面向量數量積的含義,平面數量積的運算律不同於實數的運算律.
例題2 已知; (2);(3)的夾角為,分別求.
解(1)當時, =或=.
(2)當時, =.
(3)當的夾角為時, =.
變式訓練:已知,求
解: =
點評: 熟練應用平面向量數量積的定義式求值,注意兩個向量夾角的確定及分類完整.
2.夾角問題
例題3 (2023年北京)若,且,則向量與向量的夾角為 ( )
a. b. cd.
解:依題意故選c
學生訓練: ① 已知,求向量與向量的夾角.
已知,夾角為,則
解: ①,故夾角為.
②依題意得.
變式訓練:已知是兩個非零向量,同時滿足,求的夾角.
法一解:將兩邊平方得,
則, 故的夾角.為.
法二: 數形結合
點評:注意兩個向量夾角共起點,靈活應用兩個向量夾角的兩種求法.
3.向量模的問題
例題4 已知向量滿足,且的夾角為,求.
解: ,且的夾角為
; 變式訓練 :
①(2023年湖北)已知向量,若不超過5,則的取值範圍 ( )
abcd.
②(2023年福建) 已知的夾角為, , ,則等於( )
a 5b. 4c. 3d. 1
解: ①, 故選c
②, ,解得,故選b
點評:涉及向量模的問題一般利用,注意兩邊平方是常用的方法.
4.平面向量數量積的綜合應用
例題5 (2023年全國卷)已知向量.
(1) 若; (2)求的最大值 .
解:(1)若,則,.
(2) ==
,的最大值為.
例題6已知向量,且滿足,
(1) 求證; (2)將與的數量積表示為關於的函式;
解:(1)
, 故
(2) ,
故.小結1. 掌握平面向量數量積的定義及幾何意義，熟練掌握兩個向量數量積的五個性質及三個運算率.
2. 靈活應用公式 = ||||cos , ,.
3. 平面向量數量積的綜合應用
補充：1.線段的定比分點：
（1）定比分點的概念：設點p是直線pp上異於p、p的任意一點，若存在乙個實數，使，則叫做點p分有向線段所成的比，p點叫做有向線段的以定比為的定比分點；
（2）的符號與分點p的位置之間的關係：當p點**段 pp上時》0；當p點**段 pp的延長線上時<－1；當p點**段pp的延長線上時；若點p分有向線段所成的比為，則點p分有向線段所成的比為。如若點分所成的比為，則分所成的比為_______（答：
）已知p1（-1，-6），p2（3，0），則點p（，y）分有向線段所成的比λ和y的值分別為
2.平移公式：
如果點按向量平移至，
①=+ (平移向量公式)
☆ ②(平移的座標公式)；變換公式
.注意：（1）按向量把平移到，則按向量把點平移到點______（答2）如果點p(1，3)按向量a平移後得到點p′(4，1)，那麼點q(2，1)按向量a平移後的點q′的座標是 （3）函式的圖象按向量平移後，所得函式的解析式是，則答：
）4.已知在平行四邊形abcd中，點a（1，1），b（2，3），cd的中點為e（4，1），將?abcd按向量
平移，使c點移到原點o．
（1）求向量
（2）求平移後的平行四邊形的四個頂點的座標．
向量的應用
平面向量的數量積說課教案
第一輪複習課說課稿 說課人 陶漢橋 紅安七里高中 一 教材分析 1.在教材中的地位與作用 平面向量的數量積這節課就中在研究向量的線性運算之後的又一重要運算，它把向量的長度和三角函式聯絡了起來，這為解決有關的幾何問題提供了方便，特別為解決線段垂直問題提供了有效的方法，不僅它自身有很在一定歷史條件下的內...
專題平面向量的數量積
知識梳理 1 向量數量積的定義 已知兩個非零向量 它們的夾角為 我們把數量叫做與的數量積，記作 規定0向量與任一向量的數量積為0.2 的幾何意義 1 投影 設 是向量與的夾角，則叫做在方向上的投影，叫做在方向上的投影 2 的幾何意義 等於的長度與在方向上的投影的乘積 3 向量數量積的性質 是兩個非零...
平面向量的數量積及平面向量應用舉例
第二章平面向量 第三課時 平面向量的數量積及平面向量應用舉例 課時作業 一 選擇題 1 已知a 1，3 b 4,6 c 2,3 則a b c 等於 a 26，78 b 28，42 c 52 d 78 解析 a b c 1，3 4 2 6 3 26，78 答案 a 2 已知向量 2,2 4,1 在x軸...