平面向量數量積運算一直是高考熱點內容，它在處理線段長度、垂直等問題的方式方法上尤為有突出的表現,而正確理解數量積的定義和幾何意義是求解的關鍵，同時平面向量數量積的運算結果是實數而不是向量,因此要注意數量積運算和實數運算律的差異,本文僅舉數例談談求解向量數量積運算的方法和策略。
1.利用數量積運算公式求解
在數量積運算律中，有兩個形似實數的完全平方和(差)公式在解題中的應用較為廣泛,即(a＋b)２＝a２＋２a·b＋b２，（a－b）２＝a２－２a·b＋b２
上述兩公式以及(a＋b)(a－b)＝a２－b２這一類似於實數平方差的公式在解題過程中可以直接應用.
例1 已知｜a｜＝２，｜b｜＝５，a·b＝－３，求｜a＋b｜，｜a－b｜.
解析：∵｜a＋b｜２＝（a＋b）２＝a２＋２a·b＋b
∴｜a＋b｜＝，∵（｜a－b｜）２＝（a－b）２＝a２－2a·b＋b２＝2２－2×（－3）×５２＝35，
∴｜a－b｜＝．
例2 已知｜a｜＝8，｜b｜＝10，｜a＋b｜＝16，求a與b的夾角θ(精確到１°).
解析：∵（｜a＋b｜）２＝（a＋b）２＝a２＋2a·b＋b２＝｜a｜２＋2｜a｜·｜b｜ｃｏｓθ＋｜b｜２
例3 已知a＝（3，4），b＝（4，3），求x,y的值使(xa+yb)⊥a，且｜xa+yb｜=1.
分析：這裡兩個條件互相制約，注意體現方程組思想.
解：由a＝（3，4），b＝（4，3），有xa+yb=(3x+4y,4x+3y)
又（xa+yb）⊥a (xa+yb)·a＝０3(3x+4y)+4(4x+3y)=0
即25x+24y
又｜xa+yb｜=1｜xa+yb｜２＝１（３x+4y）２＋（４x+3y）２＝１
整理得：25x２＋48xy+25y２＝１即x(25x+24y)+24xy+25y２＝１ ②
由①②有24xy+25y
將①變形代入③可得：y=±
再代回①得：
2. 利用定義直接求解.
例4 若向量滿足，的夾角為45°，則=______.
解析：根據數量積的定義得，
例5 設向量與向量的夾角為鈍角，求實數t的取值範圍.
解析：∵，故，
解之．另有，解之，
∴．例6 如圖, 已知正六邊形，下列向量的數量積中最大的是（ ）
（a） （b）
（c） （d）
解析：選項中均有向量，根據數量積的幾何意義，要找的最大值,只需求在方向上的投影最大即可，畫圖可知只有在方向上的投影最大，故最**a.
3. 利用數量積的定義、性質、運算律求解
例7 判斷正誤，並簡要說明理由.
①ａ·0＝0；②0·ａ＝０；③0若ａ≠0，則對任一非零ｂ有則ａ與ｂ中至少有乙個為0；⑦對任意向量ａ，ｂ，с都有與ｂ是兩個單位向量，則ａ２＝ｂ２.
分析：根據數量積的定義、性質、運算律，逐一判斷.
解：上述8個命題中只有③⑧正確；
對於①：兩個向量的數量積是乙個實數，應有0·ａ＝０；
對於②：應有０·ａ＝0；
對於④：由數量積定義有這裡θ是ａ與ｂ的夾角，只有θ＝０或θ＝π時，才有
對於⑤：若非零向量ａ、ｂ垂直，有ａ·ｂ＝０；
對於⑥：由ａ·ｂ＝０可知ａ⊥ｂ可以都非零；
對於⑦：若ａ與с共線，記ａ＝λс.
則若ａ與с不共線，則
評述：這一型別題，要求學生確實把握好數量積的定義、性質、運算律.
4. 借助零向量. 即借助「圍成乙個封閉圖形且首尾相接的向量的和為零向量」，再合理使用向量的移項以及平方等變形，求解數量積.
例8 已知△abc中，，若，求證：△abc
為正三角形.
證明：， ∴， 又∵， ，
故， 知a=b， 同理可知b=c ， 故a=b=c ， 得證．
例9 已知平面上三點a、b、c滿足則的值等於 。
解析：注意到∵，兩邊平方得
所以=25
5. 借助平行向量與垂直向量.即借助向量的拆分，將待求的數量積轉化為有垂直條件關係或平行向量關係的向量數量積，借助，則等解決問題.
例10 已知向量a＝（3，－4），b＝（2，x）， c＝（2，y）且a∥b，ac．求|b－c|的值．
解析：∵ a∥b，∴ 3x＋8＝0． ∴x＝． ∴ b＝（2，） ．
∵ ac， ∴ 6－4y＝0． ∴ y＝． ∴ c＝（2，）．
而b－c ＝（2，）－（2，）＝（0，－），
∴ |b－c|＝．
例11 如圖，在rt△abc中，已知bc=a，若長為2a的線段pq以點a為中心，問與的夾角θ取何值時·的值最大？，並求出這個最大值.
解析：∵⊥∴·=0又
=－a2－·+·=－a2+ (－)=－a2+·.
∴當cosθ=1,，即θ=0（與方向相同）時，·最大，最大值為0.
例12 四邊形中，
（1）若，試求與滿足的關係式；
（2）滿足（1）的同時又有，求的值及四邊形的面積。
解析：（1） 則有化簡得
（2）,
又則 化簡有
聯立解得或
則四邊形為對角線互相垂直的梯形
當時, 此時
當時, 此時
6. 借助向量的拆分將待求向量的數量積轉化為題目中能求解的數量積.
例13 如圖，在中，，是邊上一點，，則
解析：直接利用定義求較困難，題目中給出了，可以利用定義直接求出，這樣問題就轉化為能否將向量都用形式表示.由得即，
∴.7. 建立座標系，利用座標運算求解數量積
例14 已知o為rt△abc的內切圓的圓心，ab=5,bc=4,ca=3下列結論正確的是（ ）
a. b.
c. d.
解析：建立如圖直角座標系：設a(0,3)，b(4,0)，c(0,0)，
∵o為rt△abc的內切圓的圓心∴o(1,1)，
∴，，∴，，故選 a
例15 如圖，在中，，是邊上一點，，則_______.
解析：建立以ab為x軸，過點a作ab的垂線為y軸的直角座標系，如圖所示，則a(0,0)，b(2,0)，c()，由定比分點座標公式得d()，所以， =(),
即.三角恒等式證明的基本技巧
三角恒等式的證明是三角函式中一類重要問題，這類問題主要以無條件和有條件恒等式出現。根據恒等式的特點，可採用各種不同的方法技巧，技巧常從以下各個方面表示出來。
1．化角
觀察條件及目標式中角度間聯絡，立足於消除角間存在的差異，或改變角的表達形式以便更好地溝通條件與結論使之統一，或有利於公式的運用，化角是證明三角恒等式時一種常用技巧。
例1求證：tanx - tanx =
思路分析：本題的關鍵是角度關係：x=x -x，可作以下證明：
右式=== tanx - tanx。
2．化函式
三角函式中有幾組重要公式，它們不僅揭示了角間的關係，同時揭示了函式間的相互關係，三角變換中，以觀察函式名稱的差異為主觀點，以化異為為同（如化切為弦等）的思路，恰當選用公式，這也是證明三角恒等式的一種基本技巧。
例2 設+=1，求證：tana、tanc、tanb順次成等比數列。
思路分析：欲證tan2c = tana·tanb，將條件中的弦化切是關鍵。可作以下證明：
∵ sin2c= ，sin2a= ∴ = 由已知可得=1-=，
∴ = ∴=
即tan2c = tana·tanb 命題成立。
3．化冪
應用公升、降冪公式作冪的轉化，以便更好地選用公式對面臨的問題實行變換，這也是三角恒等式證明的一種技巧。
例3求證 cos4α-4cos2α+3=8sin4α
思路分析：應用降冪公式，從右證到左：
右邊=8()2=2(1-2cos2α+cos22α)= 2(1-2cos2α+)=cos4α-4cos2α+3=左邊。
4．化常數
將已知或目標中的常數化為特殊角的函式值以適應求徵需要，這方面的例子效多。如
1=sin2α+cos2α=sec2α-tan2α=csc2α-cot2α=tanαcotα=sinαcscα=cosαsecα，1=tan450=sin900=cos00等等。如何對常數實行變換，這需要對具體問題作具體分析。
例4 求證 =
思路分析：將左式分子中「1」用「sin2α+cos2α」代替，問題便迎刃而解。
左邊====右邊
5．化引數
用代入、加減、乘除及三角公式消去引數的方法同樣在證明恒等式時用到。
例5 已知acos2α+bsin2α=mcos2β，asin2α+bcos2α=nsin2β，mtan2α=ntan2β(β≠nπ)
求證：(a+b)(m+n)=2mn
思路分析：消去引數，當m=0時，由mtan2α=ntan2β得n=0，顯然成立。當m≠0時，只須消去α、β即可。
由acos2α+bsin2α=mcos2β，asin2α+bcos2α=nsin2β得
=tan2β，再由mtan2α=ntan2β得=tan2α即可得=tan2α，解得tan2α=1，所以sin2α=cos2α=。
求得cos2β=，sin2β=，又由cos2β+sin2β=1不得。∴+=1 ，
即 (a+b)(m+n)=2mn
6．化比
一些附有積或商形式的條件三角恒等式證明問題，常可考慮應用比例的有關定理。用等比定理，合、分比定理對條件加以變換，或順推出結論，或簡化條件，常常可以為解題帶來方便。
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