1．設f(x)＝|2x－1|－|x＋1|.
(1)求f(x)<0的解集；
(2)當x<－1時，f(x)>f(a)，求實數a的取值範圍．
2．已知函式f(x)＝|x－3|－2，g(x)＝－|x＋1|＋4.
(1)若函式f(x)的值不大於1，求x的取值範圍；
(2)若不等式f(x)－g(x)≥m＋1的解集為r，求m的取值範圍．
3．已知函式f(x)＝|x|＋|x－3|.
(1)求不等式f(x)≤5的解集；
(2)若函式f(x)的最小值為m，且正實數a，b，c滿足a＋b＋c＝m，求證：＋＋≤3.
(2)證明：由絕對值三角不等式，得f(x)＝|x|＋|x－3|≥|x－(x－3)|＝3，故m＝3，即a＋b＋c＝3.
根據柯西不等式，有(1·＋1·＋1·)2≤(12＋12＋12)[()2＋()2＋()2]
＝3[2(a＋b＋c)＋3]＝27.
所以＋＋≤3，當且僅當＝＝，即a＝b＝c＝1時取等號．
4．(1)已知函式f(x)＝|x－1|＋|x＋3|，若f(x)為常函式，求函式f(x)的定義域；
(2)若x，y，z∈r，x2＋y2＋z2＝1，求m＝x＋y＋z的最大值．
解：(1)f(x)＝|x－1|＋|x＋3|＝
若f(x)為常函式，則其定義域為[－3，1]．
(2)由柯西不等式得(x2＋y2＋z2)[()2＋()2＋()2]≥(x＋y＋z)2，
所以x＋y＋z≤3，當且僅當＝＝時取等號．
因此m的最大值為3.
5．已知函式f(x)＝|2x＋1|＋|2x－3|.
(1)求不等式f(x)≤6的解集；
(2)若關於x的不等式f(x)<|a－1|的解集非空，求實數a的取值範圍．
解：(1)原不等式等價於或或
解得故不等式的解集為．
(2)∵f(x)＝|2x＋1|＋|2x－3|≥|(2x＋1)－(2x－3)|＝4，
∴|a－1|>4，解此不等式得a<－3或a>5.
6．已知a，b為正實數．
(1)若a＋b＝2，求＋的最小值；
(2)求證：a2b2＋a2＋b2≥ab(a＋b＋1)．
(2)證明：由基本不等式得a2b2＋a2≥2a2b，a2b2＋b2≥2b2a，a2＋b2≥2ab，當且僅當a＝b＝1時，三式等號成立，
三式相加得2a2b2＋2a2＋2b2≥2a2b＋2ab2＋2ab＝2ab(a＋b＋1)，
所以a2b2＋a2＋b2≥ab(a＋b＋1)．
7、若不等式|a－1|≥＋＋對滿足x＋y＋z＝1的一切正實數x，y，z恆成立，求實數a的取值範圍．
解：根據柯西不等式有
(＋＋)2＝(1·＋1·＋1·)2≤(12＋12＋12)[()2＋()2＋()2]＝3·[3(x＋y＋z)＋3]＝3×6＝18，
∴＋＋≤3，當且僅當＝＝，即x＝y＝z＝時，等號成立．
又∵|a－1|≥＋＋恆成立，∴|a－1|≥3，
∴a－1≥3或a－1≤－3，即a≥3＋1或a≤1－3，
∴a的取值範圍是(－∞，1－3]∪[1＋3，＋∞)．
8、設a，b，c均為正實數，求證
證明：∵a，b，c均為正實數，
∴＋≥≥，當且僅當a＝b時等號成立，
＋≥≥，當且僅當b＝c時等號成立，
＋≥≥，當且僅當a＝c時等號成立，
三個不等式相加即得＋＋≥＋＋≥＋＋，當且僅當a＝b＝c時等號成立，
即＋＋≥＋＋≥＋＋.
9、已知a>0，b>0，c>0，＋＋＋3abc的最小值為m.
(1)求m的值；
(2)解關於x的不等式|x＋1|－2x (2)由(1)知m＝6，則|x＋1|－2x<6，即|x＋1|<6＋2x，
∴－6－2x∴解得
∴原不等式的解集為(－，＋∞)．
10．已知函式f(x)＝|x－4|＋|x＋5|.
(1)試求使等式f(x)＝|2x＋1|成立的x的取值範圍；
(2)若關於x的不等式f(x)解 (1)f(x)＝|x－4|＋|x＋5|＝
又|2x＋1|＝
所以若f(x)＝|2x＋1|，則x的取值範圍是(－∞，－5]∪[4，＋∞)．
(2)因為f(x)＝|x－4|＋|x＋5|≥|(x－4)－(x＋5)|＝9，
∴f(x)min＝9.
所以若關於x的不等式f(x) f(x)min＝9，即a的取值範圍是(9，＋∞)．
11．已知函式f(x)＝|x＋2|－|x－1|.
(1)試求f(x)的值域；
(2)設g(x)＝(a>0)，若任意s∈(0，＋∞)，任意t∈(－∞，＋∞)，恒有g(s)≥f(t)成立，試求實數a的取值範圍．
解 (1)函式可化為
f(x)＝
∴f(x)∈[－3，3]．
12．設函式f(x)＝|2x－1|－|x＋2|.
(1)求不等式f(x)≥3的解集；
(2)若關於x的不等式f(x)≥t2－3t在[0，1]上無解，求實數t的取值範圍．
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