一、絕對值不等式
1．絕對值三角不等式
定理1：如果a,b是實數，則|a+b|≤|a|+|b|,當且僅當ab≥0時，等號成立。
注：（1）絕對值三角不等式的向量形式及幾何意義：當，不共線時它的幾何意義就是三角形的兩邊之和大於第三邊。
（2）不等式|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|中「=」成立的條件分別是：不等式|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|，在側「=」成立的條件是ab≥0，左側「=」成立的條件是ab≤0且|a|≥|b|;不等式|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|，右側「=」成立的條件是ab≤0，左側「=」成立的條件是ab≥0且|a|≥|b|。
定理2：如果a,b,c是實數，那麼|a-c|≤|a-b|+|b-c|,當且僅當(a-b)(b-c)時，等號成立。
2．絕對值不等式的解法
（1）含絕對值的不等式|x|＜a與|x|＞a的解集
注：|x|以及|x-a|±|x-b|表示的幾何意義（|x|表示數軸上的點x到原點的距離；| x-a |±|x-b|）表示數軸上的點x到點a,b的距離之和（差）
（2）|ax+b|≤c(c＞0)和|ax+b|≥c(c＞0)型不等式的解法
①|ax+b|≤c-c≤ax+b≤c;
②| ax+b|≥c ax+b≥c或ax+b≤-c.
（3）|x-a|+|x-b|≥c(c＞0)和|x-a|+|x-b|≤c(c＞0)型不等式的解法
方法一：利用絕對值不等式的幾何意義求解，體現了數形結合的思想；
方法二：利用「零點分段法」求解，體現了分類討論的思想；
方法三：通過建構函式，利用函式的圖象求解，體現了函式與方程的思想。
二、證明不等式的基本方法
1．比較法
（1）作差比較法
①理論依據：a＞ba-b＞0;a＜b a-b＜0.
②證明步驟：作差→變形→判斷符號→得出結論。
注：作差比較法的實質是把兩個數或式子的大小判斷問題轉化為乙個數（或式子）與0的大小關係。
（2）作商比較法
①理論依據：
②證明步驟：作商→變形→判斷與1的大小關係→得出結論。
2．綜合法
（1）定義：從已知條件出發，利用定義、公理、定理、性質等，經過一系列的推理、論證而得到命題成立，這種證明方法叫做綜合法。綜合法又叫做推證法或由因導果法。
（2）思路：綜合法的思索路線是「由因導果」，也就是從乙個（組）已知的不等式出發，不斷地用必要條件代替前面的不等式，直至推導出要求證明的不等式。
3．分析法
（1）定義：從要證的結論出發，逐步尋求使它成立的充分條件，直至所需條件為已知條件或乙個明顯成立的事實（定義、公理或已證明的定理、性質等），從而得出要證的命題成立，這種證明方法叫做分析法。
（2）思路：分析法的思索路線是「執果索因」，即從要證的不等式出發，不斷地用充分條件來代替前面的不等式，直到打到已知不等式為止。
注：綜合法和分析法的內在聯絡是綜合法往往是分析法的相反過程，其表述簡單、條理清楚。當問題比較複雜時，通常把分析法和綜合法結合起來使用，以分析法尋找證明的思路，用綜合法敘述、表達整個證明過程。
4．放縮法
（1）定義：證明不等式時，通常把不等式中的某些部分的值放大或縮小，簡化不等式，從而達到證明的目的，這種證明方法稱為放縮法。
（2）思路：分析證明式的形式特點，適當放大或縮小是證題關鍵。
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