不等式選講
一、絕對值不等式
1．絕對值三角不等式
定理1：如果a,b是實數，則|a+b|≤|a|+|b|,當且僅當ab≥0時，等號成立。
注：（1）絕對值三角不等式的向量形式及幾何意義：當，不共線時它的幾何意義就是三角形的兩邊之和大於第三邊。
（2）不等式|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|中「=」成立的條件分別是：不等式|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|，在側「=」成立的條件是ab≥0，左側「=」成立的條件是ab≤0且|a|≥|b|;不等式|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|，右側「=」成立的條件是ab≤0，左側「=」成立的條件是ab≥0且|a|≥|b|。
定理2：如果a,b,c是實數，那麼|a-c|≤|a-b|+|b-c|,當且僅當(a-b)(b-c)≥0時，等號成立。
2．絕對值不等式的解法
（1）含絕對值的不等式|x|＜a與|x|＞a的解集
注：|x|以及|x-a|±|x-b|表示的幾何意義（|x|表示數軸上的點x到原點的距離；| x-a |±|x-b|）表示數軸上的點x到點a,b的距離之和（差）
（2）|ax+b|≤c(c＞0)和|ax+b|≥c(c＞0)型不等式的解法
①|ax+b|≤c-c≤ax+b≤c;
②| ax+b|≥c ax+b≥c或ax+b≤-c.
（3）|x-a|+|x-b|≥c(c＞0)和|x-a|+|x-b|≤c(c＞0)型不等式的解法
方法一：利用絕對值不等式的幾何意義求解，體現了數形結合的思想；
方法二：利用「零點分段法」求解，體現了分類討論的思想；
方法三：通過建構函式，利用函式的圖象求解，體現了函式與方程的思想。
二、證明不等式的基本方法
1．比較法
（1）作差比較法
①理論依據：a＞ba-b＞0;a＜b a-b＜0.
②證明步驟：作差→變形→判斷符號→得出結論。
注：作差比較法的實質是把兩個數或式子的大小判斷問題轉化為乙個數（或式子）與0的大小關係。
（2）作商比較法
①理論依據：
②證明步驟：作商→變形→判斷與1的大小關係→得出結論。
2．綜合法
（1）定義：從已知條件出發，利用定義、公理、定理、性質等，經過一系列的推理、論證而得到命題成立，這種證明方法叫做綜合法。綜合法又叫做推證法或由因導果法。
（2）思路：綜合法的思索路線是「由因導果」，也就是從乙個（組）已知的不等式出發，不斷地用必要條件代替前面的不等式，直至推導出要求證明的不等式。
3．分析法
（1）定義：從要證的結論出發，逐步尋求使它成立的充分條件，直至所需條件為已知條件或乙個明顯成立的事實（定義、公理或已證明的定理、性質等），從而得出要證的命題成立，這種證明方法叫做分析法。
（2）思路：分析法的思索路線是「執果索因」，即從要證的不等式出發，不斷地用充分條件來代替前面的不等式，直到打到已知不等式為止。
注：綜合法和分析法的內在聯絡是綜合法往往是分析法的相反過程，其表述簡單、條理清楚。當問題比較複雜時，通常把分析法和綜合法結合起來使用，以分析法尋找證明的思路，用綜合法敘述、表達整個證明過程。
4．放縮法
（1）定義：證明不等式時，通常把不等式中的某些部分的值放大或縮小，簡化不等式，從而達到證明的目的，這種證明方法稱為放縮法。
（2）思路：分析證明式的形式特點，適當放大或縮小是證題關鍵。
5.除此之外還有反證法和數學歸納法
【絕對值不等式習題】
【例1】不等式的解集為
（a）[-5.7b）[-4,6]
（cd答案】d
【解析】由不等式的幾何意義知，式子表示數軸的點與點（5）的距離
和與點（-3）的距離之和，其距離之和的最小值為8，結合數軸，選項d正確
【例2】 已知集合，則集合
【答案】
【解析】∵，，∴.
【例3】對於實數x，y，若，，則的最大值為.【答案】5
【例4】不等式的解集是______.
【解析】。由題得所以不等式的解集為。
【例5】若關於x的不等式存在實數解，則實數的取值範圍是
【答案】
【解析】：因為所以存在實數解，有或
【例6】已知函式f（x）=|x-2|-|x-5|.
（i）證明：-3≤f（x）≤3；（ii）求不等式f（x）≥x2-8x+15的解集.
解：（i）
當所以（ii）由（i）可知，
當的解集為空集；
當；當.
綜上，不等式
【例7】已知函式
（1）解關於的不等式；
（2）若函式的圖象恆在函式圖象的上方，求的取值範圍。
解：（1）不等式，即。
當時，不等式的解集是；
當時，不等式的解集為；
當時，即，即或者，即或者，解集為。 （5分）
（2）函式的圖象恆在函式圖象的上方，即對任意實數恆成立。即對任意實數恆成立。
由於，故只要。
所以的取值範圍是。
【不等式證明習題】
【例1】若a，b，c為不全相等的正數，求證：
lg＋lg＋lg＞lg a＋lg b＋lg c.
證明： 由a，b，c為正數，得
lg≥lg；lg≥lg；lg≥lg.
而a，b，c不全相等，
所以lg＋lg＋lg＞lg＋lg＋lg＝lg＝lg(abc)＝lg a＋lg b＋lg c.
即lg＋lg＋lg＞lg a＋lg b＋lg c.
【例2】證明不等式1+
證法一 (1)當n等於1時，不等式左端等於1，右端等於2，所以不等式成立
(2)假設n=k(k≥1)時，不等式成立，即1+＜2，
∴當n=k+1時，不等式成立
綜合(1)、(2)得當n∈n*時，都有1+＜2
證法二對任意k∈n*，都有
證法三設f(n)=
那麼對任意k∈n* 都有
∴f(k+1)＞f(k)
因此，對任意n∈n* 都有f(n)＞f(n－1)＞…＞f(1)=1＞0，
∴【例3】已知a＞0，b＞0，且a+b=1 求證(a+)(b+)≥
證法一 (分析綜合法）
欲證原式，即證4(ab)2+4(a2+b2)－25ab+4≥0，
即證4(ab)2－33(ab)+8≥0，即證ab≤或ab≥8
∵a＞0，b＞0，a+b=1，∴ab≥8不可能成立
∵1=a+b≥2，∴ab≤，從而得證
證法二 (比較法）
∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴a+b≥2，∴ab≤
證法三 (綜合法)
∵a+b=1， a＞0，b＞0，∴a+b≥2，∴ab≤
【例4】已知求證：
證明：【例5】若，，，求證：，不能同時大於1。
證明：由題意知
假設有那麼
同理，①＋②＋③，得矛盾，假設不成立。
故，，不能同時大於1。
【例6】設函式f(x)＝x－a(x＋1)ln(x＋1)(x＞－1，a≥0).
(1)求f(x)的單調區間；
(2)求證：當m＞n＞0時，(1＋m)n＜(1＋n)m.
【解析】(1)f′(x)＝1－aln(x＋1)－a，
①a＝0時，f′(x)＞0，所以f(x)在(－1，＋∞)上是增函式；
②當a＞0時，f(x)在(－1，－1]上單調遞增，在[－1，＋∞)單調遞減.
(2)證明：要證(1＋m)n＜(1＋n)m，只需證nln(1＋m)＜mln(1＋n)，只需證＜.
設g(x)＝ (x＞0)，則g′(x)＝＝.
由(1)知x－(1＋x)ln(1＋x)在(0，＋∞)單調遞減，
所以x－(1＋x)ln(1＋x)＜0，即g(x)是減函式，
而m＞n，所以g(m)＜g(n)，故原不等式成立.
不等式選講4 5 知識點
一 絕對值不等式 1 絕對值三角不等式 定理1 如果a,b是實數，則 a b a b 當且僅當ab 0時，等號成立。注 1 絕對值三角不等式的向量形式及幾何意義 當，不共線時它的幾何意義就是三角形的兩邊之和大於第三邊。2 不等式 a b a b a b 中 成立的條件分別是 不等式 a b a b ...
中考數學知識點 不等式和不等式組
5.不等式和不等式組 分類 004060 5.1.1.不等式的概念 用不等號表示不等關係的式子，叫做不等式 如 3 44 3，等都是不等式 五種不等號的讀法及意義 1 讀作 不等於 它說明兩個量之間的關係是不相等的，但不能明確哪個大哪個小 2 讀作 大於 表示其左邊的量比右邊的量大 3 讀作 小於 ...
高一不等式知識點和練習
一 不等式的性質 1 對稱性 2 傳遞性 3 加法法則 4 乘法法則 5 倒數法則 6 乘方法則 7 開方法則 4.公式 二 解不等式 1 一元一次不等式 2 一元二次不等式 一元二次不等式的求解流程 一化 化二次項前的係數為正數.二判 判斷對應方程的根.三求 求對應方程的根.四畫 畫出對應函式的圖...