考點一：含絕對值不等式的解法
例1．(2023年高考遼寧卷理科24)已知函式f（x）=|x-2|-|x-5|.
（i）證明：-3≤f（x）≤3；（ii）求不等式f（x）≥x2-8x+15的解集.
解：（i）當所以
（ii）由（i）可知，當的解集為空集；
當； 當.
綜上，不等式
變式練習：1. (2023年高考山東卷理科4)不等式的解集為
（a）[-5.7b）[-4,6] （c） （d） 【答案】d
2.若存在實數使成立，則實數的取值範圍是
【答案】【解析】表示在數軸上，a到1的距離小於等於3，即，
則1.已知集合，則集合
【答案】
3. (2023年高考廣東卷理科9)不等式的解集是______.
【解析】。由題得所以不等式的解集為。
4．若關於x的不等式存在實數解，則實數的取值範圍是 【答案】
【解析】：因為所以存在實數解，有或
5.(2023年高考江蘇卷21)解不等式：
原不等式等價於：，解集為
6. (2023年高考全國新課標卷理科24)設函式
（1）當時，求不等式的解集；(2)如果不等式的解集為，求的值。
解：（ⅰ）當時，不等式，可化為，
，所以不等式的解集為
（ⅱ）因為，所以，，可化為，
即因為，所以，該不等式的解集是，再由題設條件得
7．（2023年高考福建卷理科21）已知函式。
（ⅰ）若不等式的解集為，求實數的值；
（ⅱ）在（ⅰ）的條件下，若對一切實數x恆成立，求實數m的取值範圍。
【解析】（ⅰ）由得，解得，
又已知不等式的解集為，所以，解得。
（ⅱ）當時，，設，於是
=，所以
當時，；當時，；當時，。
考點二：不等式的證明與柯西不等式
例：已知實數x，y滿足：求證：．
【答案】證明：∵，
由題設∴。∴。
變式練習：1遼寧24. 已知，不等式的解集為
（1）求的值
（2）若恒成立，求的取值範圍
【解析】（1）由得，又的解集為，所以當時，不合題意
當時，，得
（2）記，則，所以，因此
2．設不等式的解集為m．（i）求集合m；（ii）若a，b∈m，試比較ab+1與a+b的大小．
解：（i）由所以
（ii）由（i）和，所以故
練習：3． 已知函式．（1）求證：；（2）解不等式.
解：（1），又當時，，∴
（2）當時，；
當時，；當時，；
綜合上述，不等式的解集為：
4．設函式f(x)=|2x-1|+|2x-3|,x∈r
(ⅰ)解不等式f(x)≤5；
(ⅱ)若的定義域為r，求實數m的取值範圍.
5．設函式
（i）當m=2時，解不等式：≤1；
（ⅱ）若不等式的解集為，求m的值。
不等式選講4 5 知識點
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