不等關係與不等式
一.知識點總結:
1.不等關係與不等式
比差法:a>ba-b>0, a2.不等式的性質
基本性質有運算性質有:
(1)a>bbb,c>da+c>b+d. 5)a>b>0an>bn
(2)a>b,b>ca>c (傳遞性) 2) a>b,cb-d6)a>b>0 (nn,n>1)
(3)a>ba+c>b+c3) a>b>0,c>d>0ac>bd.
(4)c>0時,a>bac>bc4)a>b>0,0 c<0時,a>bacb>0an>bn
6)a>b>0
3.均值不等式
a,b∈r+, (當且僅當a=b時成立等號)
教材講了利用它證明不等式和求最值,突出了求最值.可以把此不等式擴充為(當且僅當a=b時成立等號).注意「湊」成可用定理的形式.
例題1).已知,則下列各數從小到大的順序是 .
2.)已知兩正數x,y 滿足x+y=1,則z=的最小值為 .
3).已知a,b∈r,且滿足a+3b=1,則ab的最大值為
4.一元二次不等式
1)可以把「三個二次」結合起來,突出二次函式的作用.
對於二次項係數為負的情況可以類似研究,如果只是解不等式,可以首先把二次項係數調整為正.
2)解一元二次不等式的思維過程:
第一步第二步
第三步 3)含參問題,要會分類討論。.
4)高次不等式:對可以分解為幾個一次式之積形式的高次不等式應該會用穿線法解答,畢竟教材中有所體現.
5)簡單分式不等式、簡單的指對不等式(p99 a 3,6;p103 4 )
5.恆成立問題
1)常用以下結論:k ≥ f(x)恆成立 k ≥ f(x)max, ;k ≤ f(x)恆成立 k ≤ f(x)min .(p.103 3)
2)注意它和存在性問題的區別:
存在x使k ≥ f(x)成立 k ≥ f(x)min ;存在x使k ≤ f(x)成立 k ≤ f(x)max .
二.參考例題:
1.不等式ax+ bx + c>0 的解集為(-,2),對於係數a、b、c,有如下結論:
①a>0 ②b>0 ③ c>0 ④a + b + c>0 ⑤a – b + c>0,其中正確的結論的序號是
2.已知兩個正變數x,y滿足x+y=4,使不等式恆成立的實數m的取值範圍是 .
3.不等式(x-2)2 (3-x) (x-4)3 (x-1)≥0的解集為
4.方程x2+(k-2)x+5-k=0的兩根都大於2,求實數k的取值範圍.
5.解關於x的不等式:ax2-(a+1)x+1<0
6.解關於x的不等式:.
7.若不等式對一切x恆成立,求實數m的範圍.(p80 a 6;p99 4)
8.設不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|α9.已知關於x的二次方程x2+2mx+2m+1=0
(1)若方程有兩根,其中一根在區間(-1,0)內,另一根在區間(1,2)內,求m的範圍;(2)若方程兩根均在區間(0,1)內,求m的範圍.
課後練習
1.解下列不等式:
(1);(2);(3).
2.已知,,
(1)若,求的取值範圍;
(2)若,求的取值範圍.
3.已知,
(1)如果對一切,恆成立,求實數的取值範圍;
(2)如果對,恆成立,求實數的取值範圍
4.已知不等式的解集為,則不等式的解集為 .
5.若不等式對一切成立,則的取值範圍.
6.若關於的方程有一正根和一負根,則的取值範圍.
7.關於的方程的解為不大於2的實數,則的取值範圍.
8.不等式的解集為.
1.若x>0,求f(x)=的最小值
2.若x>0,求f(x)=的最大值
3.已知,求函式的最大值
4.a,b∈r,且a+b=3,則2a+2b的最小值為
a.8b.6
c.4d.2
5.x>0,y>0,3x+y=12,則xy的最大值是的最小值是
6.函式y=的最小值為
訓練題(1) 已知,如果,那麼的最小值為_______;若,那麼的最大值為_______.
(2) 已知,如果,那麼的最小值為_______;如果,那麼的最大值為_______.
(3) 已知,如果,那麼的最小值為_______;如果,那麼的最大值為_______.
(4) 若,且,則的最小值為
(5) 已知,且,則的最小值為
(6) 已知,則函式的最大值為
(7) 函式的最大值為
(8) 已知,則的最大值為
(9) 已知時,則的最大值為
(10) 若,則函式的最大值最大值為
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