一、選擇題：(本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1.(14浙江理）設全集u=，則ua=( )
ab.解析:全集u=，集合a==，則ua==，故選：b
2.(14遼寧文理2). 設複數z滿足(z-2i)(2-i)=5，則z=（ ）
a．2+3i b．2-3i c．3+2id．3-2i
答案：a
3.（11課標理10）．在下列區間中，函式f(x)=ex+4x-3的零點所在的區間為
a．(–，0 ) b．(0，) cd．(，)
答案:c
4.（11課標理9）由曲線y=，直線y=x-2及y軸所圍成的圖形的面積為( )
ab.4cd.6
解析;用定積分求解s= (–x+2)=16/3，選c
5.(13湖南文理)在銳角△abc中，角a，b所對的邊長分別為a，b.若2asin b＝b，則角a等於( )．
a． b． c． d．
解析：由2asin b＝b得2sin asin b＝sin b，故sin a＝，故a＝或.又△abc為銳角三角形，故a＝.
6．(13課標1文理5)執行下面的程式框圖，如果輸入的t∈[－1,3]，則輸出的s屬於( )．
a．[－3,4b．[－5,2] c．[－4,3d．[－2,5]
解析：若t∈[－1,1)，則執行s＝3t，故s∈[－3,3)．若t∈[1,3]，則執行s＝4t－t2，其對稱軸為t＝2.
故當t＝2時，s取得最大值4.當t＝1或3時，s取得最小值3，則s∈[3,4]．綜上可知，輸出的s∈[－3,4]．故選a.
7. (14課標2文理06）如圖，網格紙上正方形小格的邊長為1（表示1cm），圖中粗線畫出的是某零件的三檢視，該零件由乙個底面半徑為3cm，高為6cm的圓柱體毛坯切削得到，則切削掉部分的體積與原來毛坯體積的比值為（ ）
abcd.
解析:幾何體是由兩個圓柱組成，乙個是底面半徑為3高為2，乙個是底面半徑為2，高為4，組合體體積是：32π2+22π4=34π．底面半徑為3cm，高為6cm的圓柱體毛坯的體積為：
32π×6=54π．切削掉部分的體積與原來毛坯體積的比值為：
8.（14福建理08）在下列向量組中，可以把向量a =（3，2）表示出來的是（ ）
e2=(1,2) b. .e1=(-1,2) e2=(5,-2) c.
.e1=(3,5) e2=(6,10) d. .
e1=(2,-3) e2=(-2,3)
解析:根據a =λe1+μe2，
選項a：（3，2）=λ（0，0）+μ（1，2），則 3=μ，2=2μ，無解，故選項a不能；
選項b：（3，2）=λ（﹣1，2）+μ（5，﹣2），則3=﹣λ+5μ，2=2λ﹣2μ，解得，λ=21，故選項b能．
選項c：（3，2）=λ（3，5）+μ（6，10），則3=3λ+6μ，2=5λ+10μ，無解，故選項c 不能．
選項d：（3，2）=λ（2，﹣3）+μ（﹣2，3），則3=2λ﹣2μ，2=﹣3λ+3μ，無解，故選項d不能．故選：b
9.（10四川文理6）將函式y=sinx的影象上所有的點向右平行移動個單位長度，再把所得各點的橫座標伸長到原來的2倍（縱座標不變），所得影象的函式解析式是（ ）
a．y=sin(2x-) w
解析：將函式y=sinx的影象上所有的點向右平行移動個單位長度，所得函式圖象的解析式為y＝sin(x－) w_w 再把所得各點的橫座標伸長到原來的2倍（縱座標不變），所得影象的函式解析式是y=sin(x-).
10.（14課標2理11）直三稜柱abc-a1b1c1中，∠bca=90°，m，n分別是a1b1，a1c1的中點，bc=ca=cc1，則bm與an所成的角的余弦值為（ ）
abcd.
解析：用向量法解，選c
11.（14安徽理6）．設函式f(x)(x∈r)滿足f(x+π)=f(x)+sinx，當0≤x<π時，f(x)=0，則f()=（ ）
ab． c．0 d．
解析：f()=f()+sin= f()+sin+ sin= f()+sin+sin+ sin=
12.（14重慶理08）設f1，f2分別為雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點，雙曲線上存在一點p使得|pf1|+|pf2|=3b，|pf|·|pf|=ab；則該雙曲線的離心率為（ ）
a. b. c. d.3
解析：由於(|pf1|+|pf2|)2-(|pf1|-|pf2|)2=4|pf|·|pf|，所以9b2-4a2=9ab (3b-4a)(3b+a)=0，則4a=3b，e=5/3，選擇b
二、填空題：（本大題共5小題，每小題5分，共20分．）
13. (14天津文理09）某大學為了解在校本科生對參加某項社會實踐活動的意向，擬採用分層抽樣的方法，從該校四個年級的本科生中抽取乙個容量為300的樣本進行調查.已知該校一年級、二年級、三年級、四年級的本科生人數之比為4:
5:5:6，則應從一年級本科生中抽取____名學生.
解析:由分層抽樣的方法可得，從一年級本科生中抽取學生人數為300×＝60
14.（14重慶理13）已知直線ax+y-2與圓心為c的圓(x-1)2+(y-a)2=4相交於a,b兩點，且abc為等邊三角形，則實數a=_____.
解析:易知該等邊三角形的邊長為2，圓心到直線的距離為等邊三角形的高h=，由點到直線距離公式得a=4±
15.(13課標1文理15)設當x＝θ時，函式f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，則cos
解析：f(x)＝sin x－2cos x＝f(x)＝sin(α＋x)，其中cos α＝，sin α＝–，當x＝2kπ＋－α(k∈z)時，sin(α＋x)有最大值1，f(x)有最大值，即θ＝2kπ＋－α(k∈z)，所以cos θ＝cos(–α)=sinα＝–.
16.（14浙江理13）當實數、滿足時，1≤ax+y≤4恆成立，則實數a的取值範圍是________.
解析：由約束條件作可行域如圖，聯立，解得c（1，）．
聯立，解得b（2，1）．在x﹣y﹣1=0中取y=0得a（1，0）．
要使1≤ax+y≤4恆成立，則，解得：1≤a≤．∴實數a的取值範圍是[1,]．
三、解答題（本大題共6小題，共80分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）
17.(13江西理17)(本小題滿分12分)正項數列的前n項和sn滿足：sn2﹣(n2＋n－1)sn－(n2＋n)＝0.
(1)求數列的通項公式an；
(2)令bn=，數列的前n項和為tn.證明：對於任意的n∈n*，都有tn＜.
(1)解：由sn2﹣(n2＋n－1)sn－(n2＋n)＝0，得[sn－(n2＋n)](sn＋1)＝0. 由於是正項數列，所以sn>0，sn＝n2＋n.
於是a1＝s1＝2，n≥2時，an＝sn－sn－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n. 綜上，數列的通項an＝2n.
(2)證明：由於an＝2n，bn=，則bn==.
tn= [11++﹣]< (1+)=
18.（11陝西理20）(本小題滿分12分)如圖，a地到火車站共有兩條路徑l1和l2，據統計，通過兩條路徑所用的時間互不影響，所用時間落在個時間段內的頻率如下表：
現甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時間用於趕往火車站．
（1）為了盡最大可能在各自允許的時間內趕到火車站，甲和乙應如何選擇各自的路徑？
（2）用x表示甲、乙兩人中在允許的時間內能趕到火車站的人數，針對（1）的選擇方案，求x的分布列和數學期望 .
解：（1）ai表示事件「甲選擇路徑li時，40分鐘內趕到火車站」，
bi表示事件「甲選擇路徑li時，50分鐘內趕到火車站」，i=1，2．
用頻率估計相應的概率，則有：
p(a1)=0.1+0.2+0.3=0.6， p(a2)=0.1+0.4=0.5， p(a1)> p(a2)， ∴甲應選擇路徑l1；
p(b1)=0.1+0.2+0.
3+0.2=0.8，p(b2)=0.
1+0.4+0.4=0.
9，p(b2)＞p(b1)，∴ 乙應選擇路徑l2.
（2）用a，b分別表示針對（1）的選擇方案，甲、乙在各自允許的時間內趕到火車站，
由（1）知p(a)=0.6，p(b)=0.9，又事件a，b相互獨立，x的取值是0，1，2，
∴ p(x=0)=p()=0.4×0.1=0.
04 p(x=1)=p(b)+p(a)=0.4×0.9+0.
6×0.1=0.42 p(x=2)=p(ab)=0.
6×0.9=0.54
∴x的分布列為
∴ex=0×0.04+1×0.42+2×0.54=1.5．
19.(13課標1理18) (本小題滿分12分)如圖，三稜柱abc－a1b1c1中，ca＝cb，ab＝aa1，∠baa1＝60°.
2019高考全國課標卷文科數學模擬試題八及詳解
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