2023年普通高等學校招生全國統一考試
理科數學
一、選擇題
1．複數，為的共軛複數，則
a． bcd．
2．函式的反函式為
ab．cd．3．下面四個條件中，使成立的充分而不必要的條件是
a． b． c． d．
4．設為等差數列的前項和，若，公差，，則
a．8b．7c．6d．5
5．設函式，將的影象向右平移個單位長度後，所得的影象與原影象重合，則的最小值等於
a． bc． d．
6．已知直二面角α ιβ，點a∈α，ac⊥ι，c為垂足，b∈β，bd⊥ι，d為垂足．若ab=2，ac=bd=1，則d到平面abc的距離等於
a． bc． d．1
7．某同學有同樣的畫冊2本，同樣的集郵冊3本，從中取出4本贈送給4位朋友每位朋友1本，則不同的贈送方法共有
a．4種 b．10種 c．18種 d．20種
8．曲線y=+1在點（0，2）處的切線與直線y=0和y=x圍成的三角形的面積為
a． b． c． d．1
9．設是週期為2的奇函式，當0≤x≤1時， =，則=
ab． c． d．
10．已知拋物線c：的焦點為f，直線與c交於a，b兩點．則=
a． b． c． d．
11．已知平面α截一球面得圓m，過圓心m且與α成二面角的平面β截該球面得圓n．若該球面的半徑為4，圓m的面積為4，則圓n的面積為
a．7 b．9 c．11 d．13
12．設向量a，b，c滿足= =1， =， =，則的最大值等於
a．2 b． c． d．1
第ⅱ卷二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分把答案填在題中橫線上 （注意：在試卷上作答無效）
13．（1-）20的二項展開式中，x的係數與x9的係數之差為y2
14．已知a∈（，），sinα=，則tan2α=
15．已知f1、f2分別為雙曲線c: - =1的左、右焦點，點a∈c，點m的座標為（2，0），am為∠f1af2∠的平分線．則|af2
16．己知點e、f分別在正方體abcd-a1b2c3d4的稜bb1 、cc1上，且b1e=2eb, cf=2fc1，則面aef與面abc所成的二面角的正切值等於 ．
三、解答題：本大題共6小題，共70分解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟
17．（本小題滿分l0分）（注意：在試題卷上作答無效）
△abc的內角a、b、c的對邊分別為a、b、c．己知a—c=90°，a+c=b，求 c．
18．（本小題滿分12分）（注意：在試題卷上作答無效）
根據以往統計資料，某地車主購買甲種保險的概率為0．5，購買乙種保險但不購買甲種保險的概率為0．3,設各車主購買保險相互獨立
（i）求該地1位車主至少購買甲、乙兩種保險中的l種的概率；
（ⅱ）x表示該地的l00位車主中，甲、乙兩種保險都不購買的車主數。求x的期望。
19．（本小題滿分12分）（注意：在試題卷上作答無效）
如圖，四稜錐中，,，側面為等邊三角形，．
（ⅰ）證明：;
（ⅱ）求與平面所成角的大小．
20．（本小題滿分12分）（注意：在試題卷上作答無效）
設數列滿足且
（ⅰ）求的通項公式；
（ⅱ）設
21．（本小題滿分12分）（注意：在試題卷上作答無效）
已知o為座標原點，f為橢圓在y軸正半軸上的焦點，過f且斜率為的直線與c交於a、b兩點，點p滿足
（ⅰ）證明：點p在c上；
（ⅱ）設點p關於點o的對稱點為q，證明：a、p、b、q四點在同一圓上．
22．（本小題滿分12分）（注意：在試題卷上作答無效）
（ⅰ）設函式，證明：當時，；
（ⅱ）從編號1到100的100張卡片中每次隨即抽取一張，然後放回，用這種方式連續抽取20次，設抽得的20個號碼互不相同的概率為．證明：
參***
一、選擇題
1—6 bbadcc 7—12 baadda
二、填空題
13．0 14． 15．6 16．
三、解答題：本大題共6小題，共70分解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟
17．解：由及正弦定理可得
3分 又由於故
7分因為，所以18．解：記a表示事件：該地的1位車主購買甲種保險；
b表示事件：該地的1位車主購買乙種保險但不購買甲種保險；
c表示事件：該地的1位車主至少購買甲、乙兩種保險中的1種；
d表示事件：該地的1位車主甲、乙兩種保險都不購買；
（i3分
6分 （ii）
，即x服從二項分布10分
所以期望12分
19．解法一：
（i）取ab中點e，鏈結de，則四邊形bcde為矩形，de=cb=2，
鏈結se，則
又sd=1，故，
所以為直角。 …………3分
由，得平面sde，所以。
sd與兩條相交直線ab、se都垂直。
所以平面sab6分
（ii）由平面sde知，
平面平面sed。
作垂足為f，則sf平面abcd，
作，垂足為g，則fg=dc=1。
鏈結sg，則，
又，故平面sfg，平面sbc平面sfg。 …………9分
作，h為垂足，則平面sbc。
，即f到平面sbc的距離為
由於ed//bc，所以ed//平面sbc，e到平面sbc的距離d也有
設ab與平面sbc所成的角為α，
則12分
解法二：
以c為座標原點，射線cd為x軸正半軸，建立如圖所示的空間直角座標系c—xyz。
設d（1，0，0），則a（2，2，0）、b（0，2，0）。
又設 （i），，
由得故x=1。由又由
即3分於是，
故所以平面sab6分
（ii）設平面sbc的法向量，則又
故9分取p=2得。
故ab與平面sbc所成的角為
20．解：
（i）由題設
即是公差為1的等差數列。
又所以（ii）由（i）得
8分 …………12分
21．解：
（i）f（0，1），的方程為，
代入並化簡得2分設
則由題意得
所以點p的座標為
經驗證，點p的座標為滿足方程
故點p在橢圓c上6分
（ii）由和題設知，
pq的垂直平分線的方程為
①設ab的中點為m，則，ab的垂直平分線為的方程為
②由①、②得的交點為9分
故|np|=|na|。
又|np|=|nq|，|na|=|nb|，
所以|na|=|np|=|nb|=|mq|，
由此知a、p、b、q四點在以n為圓心，na為半徑的圓上 …………12分
22．解：
（i2分
當，所以為增函式，又，
因此當5分
（ii）
又，所以9分
由（i）知：當
因此在上式中，令所以
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