2023年普通高等學校招生全國統一考試
理科數學
注意事項：
1．答卷前，考生務必將自己的九名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上．
2．回答選擇題時，選出每小題答案後，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號塗黑．如需改動，用橡皮擦乾淨後，再選塗其它答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效．
3．考試結束後，將本試卷和答題卡一併交回．
一、選擇題（本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）
1．設，則（）
a．0bcd．
2．已知集合，則（）
ab．cd．3．某地區經過一年的新農村建設，農村的經濟收入增加了一倍．實現翻番．為更好地了解該地區農村的經濟收入變化情況，統計了該地區新農村建設前後農村的經濟收入構成比例．得到如下餅圖：
則下面結論中不正確的是（）
a．新農村建設後，種植收入減少
b．新農村建設後，其他收入增加了一倍以上
c．新農村建設後，養殖收入增加了一倍
d．新農村建設後，養殖收入與第三產業收入的總和超過了經濟收入的一半
4．記為等差數列的前項和．若，，則（）
abcd．12
5．設函式．若為奇函式，則曲線在點處的切線方程為（）
abcd．
6．在中，為邊上的中線，為的中點，則（）
ab．cd．7．某圓柱的高為2，底面周長為16，其三檢視如圖所示，圓柱表面上的點在正檢視上的對應點為，圓柱表面上的點在左檢視上的對應點為，則在此圓柱側面上，從到的路徑中，最短路徑的長度為（）
abcd．2
8．設拋物線的焦點為，過點且斜率為的直線與交於，兩點，則（）
a．5b．6c．7d．8
9．已知函式，（），若存在2個零點，則的取值範圍是
abc． d．
10．下圖來自古希臘數學家希波克拉底所研究的幾何圖形，此圖由三個半圓構成，三個半圓的直徑分別為直角三角形的斜邊，直角邊，，的三邊所圍成的區域記為ⅰ，黑色部分記為ⅱ，其餘部分記為ⅲ，在整個圖形中隨機取一點，此點取自ⅰ，ⅱ，ⅲ的概率分別記為，，，則（）
abcd．
11．已知雙曲線，為座標原點，為的右焦點，過的直線與的兩條漸近線的交點分別為，．若為直角三角形，則（）
ab．3cd．4
12．已知正方體的稜長為1，每條稜所在直線與平面所成的角都相等，則截此正方體所得截面面積的最大值為（）
abcd．
二、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）
13．若滿足約束條件，則的最大值為________．
14．記為數列的前項和．若，則________．
15．從2位女生，4位男生中選3人參加科技比賽，且至少有1位女生入選，則不同的選法共有________種．（用數字填寫答案）
16．已知函式，則的最小值是________．
三、解答題（共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據要求作答。）
（一）必考題：共60分。
17．（12分）
在平面四邊形中，，，，．
⑴求；⑵若，求．
18．（12分）
如圖，四邊形為正方形，，分別為，的中點，以為摺痕把折起，使點到達點的位置，且．
⑴證明：平面平面；
⑵求與平面所成角的正弦值．
19．（12分）
設橢圓的右焦點為，過的直線與交於，兩點，點的座標為．
⑴當與軸垂直時，求直線的方程；
⑵設為座標原點，證明：．
20．（12分）
某工廠的某種產品成箱包裝，每箱200件，每一箱產品在交付使用者之前要對產品作檢驗，如檢驗出不合格品，則更換為合格品，檢驗時，先從這箱產品中任取20件的作檢驗，再根據檢驗結果決定是否對餘下的所有產品作檢驗，設每件產品為不合格品的概率都為，且各件產品是否為不合格品相互獨立．
⑴記20件產品中恰有2件不合格品的概率為，求的最大值點；
⑵現對一箱產品檢驗了20件，結果恰有2件不合格品，以⑴中確定的作為的值．已知每件產品的檢驗費用為2元，若有不合格品進入使用者手中，則工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費用．
（i）若不對該箱餘下的產品作檢驗，這一箱產品的檢驗費用與賠償費用的和記為，求；
（ii）以檢驗費用與賠償費用和的期望值為決策依據，是否該對這箱餘下的所有產品作檢驗？
21．（12分）
已知函式．
⑴討論的單調性；
⑵若存在兩個極值點，，證明：．
（二）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分。
22．[選修4—4：座標系與引數方程]（10）
在直角座標系中，曲線的方程為．以座標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極座標系，曲線的極座標方程為．
⑴求的直角座標方程；
⑵若與有且僅有三個公共點，求的方程．
23．[選修4—5：不等式選講]（10分）
已知．⑴當時，求不等式的解集；
⑵若時不等式成立，求的取值範圍．
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