2023年普通高等學校招生全國統一考試
理科數學（必修+選修ⅱ）
本試卷分第卷（選擇題）和第卷（非選擇題）兩部分．第卷1至2頁，第卷3至9頁．考試結束後，將本試卷和答題卡一併交回．
第ⅰ卷考生注意：
1．答題前，考生在答題卡上務必用0.5公釐黑色墨水簽字筆將自己的姓名、准考證號、填寫清楚 ，並貼好條形碼．請認真核准條形碼上的准考證號、姓名和科目．
2．每小題選出答案後，用2ｂ鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號塗黑，如需改動，用橡皮擦乾淨後，再選塗其他答案標號．在試題卷上作答無效．
3．本卷共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
參考公式：
如果事件互斥，那麼球的表面積公式
如果事件相互獨立，那麼其中表示球的半徑
球的體積公式
如果事件在一次試驗中發生的概率是，那麼
次獨立重複試驗中恰好發生次的概率其中表示球的半徑
一、選擇題
1．函式的定義域為（ ）
ab．cd．2．汽車經過啟動、加速行駛、勻速行駛、減速行駛之後停車，若把這一過程中汽車的行駛路程看作時間的函式，其影象可能是（ ）
3．在中，，．若點滿足，則（ ）
abcd．
4．設，且為正實數，則（ ）
a．2 b．1 c．0 d．
5．已知等差數列滿足，，則它的前10項的和（ ）
a．138 b．135 c．95 d．23
6．若函式的影象與函式的影象關於直線對稱，則（ ）
a． b． c． d．
7．設曲線在點處的切線與直線垂直，則（ ）
a．2 b． c． d．
8．為得到函式的影象，只需將函式的影象（ ）
a．向左平移個長度單位b．向右平移個長度單位
c．向左平移個長度單位d．向右平移個長度單位
9．設奇函式在上為增函式，且，則不等式的解集為（ ）
ab．c． d．
10．若直線通過點，則（ ）
a． b． c． d．
11．已知三稜柱的側稜與底面邊長都相等，在底面內的射影為的中心，則與底面所成角的正弦值等於（ ）
a． bc． d．
12．如圖，一環形花壇分成四塊，現有4種不同的花供選種，要求在每塊裡種1種花，且相鄰的2塊種不同的花，則不同的種法總數為（ ）
a．96 b．84 c．60 d．48
2023年普通高等學校招生全國統一考試
理科數學（必修選修ⅱ）
第ⅱ卷注意事項：
1．答題前，考生先在答題卡上用直徑0.5公釐黑色墨水簽字筆將自己的姓名、准考證號填寫清楚，然後貼好條形碼．請認真核准條形碼上的准考證號、姓名和科目．
2．第ⅱ卷共7頁，請用直徑0.5公釐黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區域內作答，在試題卷上作答無效．
3．本卷共10小題，共90分．
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上．
（注意：在試題卷上作答無效）
13．若滿足約束條件則的最大值為
14．已知拋物線的焦點是座標原點，則以拋物線與兩座標軸的三個交點為頂點的三角形面積為
15．在中，，．若以為焦點的橢圓經過點，則該橢圓的離心率
16．等邊三角形與正方形有一公共邊，二面角的余弦值為，分別是的中點，則所成角的余弦值等於
三、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
17．（本小題滿分10分）
（注意：在試題卷上作答無效）
設的內角所對的邊長分別為，且．
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）求的最大值．
18．（本小題滿分12分）
（注意：在試題卷上作答無效）
四稜錐中，底面為矩形，側面底面，，，．
（ⅰ）證明：；
（ⅱ）設與平面所成的角為，求二面角的大小．
19．（本小題滿分12分）
（注意：在試題卷上作答無效）
已知函式，．
（ⅰ）討論函式的單調區間；
（ⅱ）設函式在區間內是減函式，求的取值範圍．
20．（本小題滿分12分）
（注意：在試題卷上作答無效）
已知5只動物中有1只患有某種疾病，需要通過化驗血液來確定患病的動物．血液化驗結果呈陽性的即為患病動物，呈陰性即沒患病．下面是兩種化驗方法：
方案甲：逐個化驗，直到能確定患病動物為止．
方案乙：先任取3只，將它們的血液混在一起化驗．若結果呈陽性則表明患病動物為這3只中的1只，然後再逐個化驗，直到能確定患病動物為止；若結果呈陰性則在另外2只中任取1只化驗．
（ⅰ）求依方案甲所需化驗次數不少於依方案乙所需化驗次數的概率；
（ⅱ）表示依方案乙所需化驗次數，求的期望．
21．（本小題滿分12分）
（注意：在試題卷上作答無效）
雙曲線的中心為原點，焦點在軸上，兩條漸近線分別為，經過右焦點垂直於的直線分別交於兩點．已知成等差數列，且與同向．
（ⅰ）求雙曲線的離心率；
（ⅱ）設被雙曲線所截得的線段的長為4，求雙曲線的方程．
22．（本小題滿分12分）
（注意：在試題卷上作答無效）
設函式．數列滿足，．
（ⅰ）證明：函式在區間是增函式；
（ⅱ）證明：；
（ⅲ）設，整數．證明：．
2023年普通高等學校招生全國統一考試理科數學
（必修+選修ⅱ）參***
1. c. 由
2. a． 根據汽車加速行駛，勻速行駛，減速行駛結合函式影象可知；
3. a. 由，，；
4. d
5. c. 由；
6. b. 由；
由；只需將函式的影象向左平移個單位得到函式的影象.
由奇函式可知，而，則，當時，；當時，，又在上為增函式，則奇函式在上為增函式，.
由題意知直線與圓有交點，則.
另解：設向量，由題意知
由可得由題意知三稜錐為正四面體，設稜長為，則，稜柱的高（即點到底面的距離），故與底面所成角的正弦值為.
另解：設為空間向量的一組基底，的兩兩間的夾角為
長度均為，平面的法向量為,
則與底面所成角的正弦值為.
分三類：種兩種花有種種法；種三種花有種種法；種四種花有種種法.共有.
另解：按順序種花，可分同色與不同色有
13.答案：9．如圖，作出可行域，
作出直線，將平移至過點處
時，函式有最大值9.
14. 答案：2.由拋物線的焦點座標為
為座標原點得，，則
與座標軸的交點為，則以這三點圍成的三角形的面積為
15.答案：.設，則
，.16.答案：.設，作
，則，為二面角的平面角
，結合等邊三角形
與正方形可知此四稜錐為正四稜錐，則
,故所成角的余弦值
另解：以為座標原點，建立如圖所示的直角座標系，
則點,,
則,故所成角的余弦值.
17.解析：（ⅰ）在中，由正弦定理及
可得即，則；
（ⅱ）由得
當且僅當時，等號成立，
故當時，的最大值為.
18．解：（1）取中點，連線交於點，
， ，又麵麵， 面，．，
，，即，
面，．（2）在麵內過點作的垂線，垂足為．
，，面，，
則即為所求二面角的平面角．
，，，，則，
，即二面角的大小．
19. 解：（1）求導：
當時，，，在上遞增
當，求得兩根為
即在遞增，遞減，
遞增（2），且解得：
20．解：（ⅰ）對於甲：
對於乙：
．（ⅱ）表示依方案乙所需化驗次數，的期望為．
21. 解：（ⅰ）設，，
由勾股定理可得：
得：，，
由倍角公式，解得,則離心率．
（ⅱ）過直線方程為,與雙曲線方程聯立
將，代入，化簡有
將數值代入，有,解得
故所求的雙曲線方程為。
22. 解析：
（ⅰ）證明：，
故函式在區間(0,1)上是增函式；
（ⅱ）證明：（用數學歸納法）（i）當n=1時，，，
由函式在區間是增函式，且函式在處連續，則在區間是增函式，，即成立；
（ⅱ）假設當時，成立，即
那麼當時，由在區間是增函式，得
.而，則，
，也就是說當時，也成立；
根據（ⅰ）、（ⅱ）可得對任意的正整數，恆成立.
（ⅲ）證明：由．可得
1， 若存在某滿足，則由⑵知：
2， 若對任意都有，則
，即成立.
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