2023年普通高等學校招生全國統一考試(湖北卷)
數學（理工農醫類）
本試卷共4頁，滿分150分，考試時間120分鐘。
祝考試順利
注意事項：
1. 答題前，考生務必將自己的姓名、准考證號填在試題卷和答題卡上，並將准考證號條形碼貼上在答題卡上指定位置。
2. 選擇題每小題選出答案後，用2b鉛筆將答題卡上對應題目的答案標號塗黑，如需改動，用橡皮擦乾淨後，再選塗其他答案標號，答在試題卷上無效。
3. 填空題和解答題用0.5公釐黑色墨水簽字筆答在答題卡上每題對應的答題區域內，答在試題卷上無效。
4. 考試結束，請將本試題卷和答題卡一併上交。
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是滿足題目要求的。
1、已知是兩個向量集合，則
a．｛〔1，1〕｝ b. ｛〔-1，1〕｝ c. ｛〔1，0〕｝ d. ｛〔0，1〕｝
2.設a為非零實數，函式
a、 b、
c、 d、
3、投擲兩顆骰子，得到其向上的點數分別為m和n,則複數（m+ni）(n-mi)為實數的概率為
abcd、
4. 函式的圖象按向量平移到,的函式解析式為當為奇函式時，向量可以等於
5. 將甲、乙、丙、丁四名學生分到三個不同的班，每個班至少分到一名學生，且甲、乙兩名學生不能分到同乙個班，則不同分法的種數為
6.設，則
a. -1 b. 0 c. 1d.
7. 已知雙曲線的準線過橢圓的焦點，則直線與橢圓至多有乙個交點的充要條件是
ab.cd.
8. 在「家電下鄉」活動中，某廠要將100臺洗衣機運往鄰近的鄉鎮，現有4輛甲型貨車和8輛乙型貨車可供使用。每輛甲型貨車運輸費用400元，可裝洗衣機20臺；每輛乙型貨車運輸費用300元，可裝洗衣機10臺。
若每輛車至多只運一次，則該廠所花的最少運輸費用為
a.2000元b.2200元c.2400元d.2800元
9. 設球的半徑為時間t的函式。若球的體積以均勻速度c增長，則球的表面積的增長速度與球半徑
a.成正比，比例係數為cb. 成正比，比例係數為2c
c.成反比，比例係數為cd. 成反比，比例係數為2c
10. 古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數。比如：
他們研究過圖1中的1，3，6，10，…，由於這些數能夠表示成三角形，將其稱為三角形數；類似的，稱圖2中的1，4，9，16，…這樣的數為正方形數。下列數中既是三角形數又是正方形數的是
a.289b.1024 c.1225 d.1378
二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分.請將答案填在答題卡對應題號的位置上,一題兩空的題,其答案按先後次序填寫.
11. 已知關於的不等式＜0的解集是.則
12. 樣本容量為200的頻率分布直方圖如圖所示.根據樣本的頻率分布直方圖估計,樣本資料落在內的頻數為 ，資料落在內的概率約為
13.如圖,衛星和地面之間的電視訊號沿直線傳播,電視訊號能夠傳送到達的地面區域,稱為這個衛星的覆蓋區域.為了轉播2023年北京奧運會,我國發**「中星九號」廣播電視直播衛星，它離地球表面的距離約為36000km.
已知地球半徑約為6400km,則「中星九號」覆蓋區域內的任意兩點的球面距離的最大值約為 km.(結果中保留反余弦的符號).
14.已知函式則的值為 .
15．已知數列滿足：（m為正整數），若，則m所有可能的取值為
三、解答題：本大題共6小題，共75分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
16．（本小題滿分10分）（注意：在試題卷上作答無效）
乙個盒子裡裝有4張大小形狀完全相同的卡片，分別標有數2，3，4，5；另乙個盒子也裝有4張大小形狀完全相同的卡片，分別標有數3，4，5，6。現從乙個盒子中任取一張卡片，其上面的數記為x；再從另一盒子裡任取一張卡片，其上面的數記為y，記隨機變數，求的分布列和數學期望。
17．（本小題滿分12分）（注意：在試題卷上作答無效）
已知向量
（ⅰ）求向量的長度的最大值；
（ⅱ）設，且，求的值。
18．（本小題滿分12分）（注意：在試題卷上作答無效）
如圖，四稜錐s—abcd的底面是正方形，sd平面abcd，sd=2a，點e是sd上的點，且
（ⅰ）求證：對任意的，都有
（ⅱ）設二面角c—ae—d的大小為，直線be與平面abcd所成的角為，若，求的值
19、（本小題滿分13分）（注意：在試題卷上作答無效）
已知數列的前n項和（n為正整數）。
（ⅰ）令，求證數列是等差數列，並求數列的通項公式；
（ⅱ）令，試比較與的大小，並予以證明。
20、（本小題滿分14分）（注意：在試題卷上作答無效）
過拋物線的對稱軸上一點的直線與拋物線相交於m、n兩點，自m、n向直線作垂線，垂足分別為、。
（ⅰ）當時，求證：⊥；
（ⅱ）記、、的面積分別為、、，是否存在，使得對任意的，都有成立。若存在，求出的值；若不存在，說明理由。
21.(本小題滿分14分) （注意：在試題卷上作答無效）
在r上定義運算（b、c為實常數）。記，，.令.
（ⅰ）如果函式在處有極什,試確定b、c的值；
（ⅱ）求曲線上斜率為c的切線與該曲線的公共點；
（ⅲ）記的最大值為.若對任意的b、c恆成立，試示的最大值。
2023年高考湖北理科數學卷解析
1．【答案】a
【解析】因為代入選項可得故選a.
2．【答案】d
【解析】同文2
3．【答案】c
【解析】因為為實數
所以故則可以取1、26，共6種可能，所以
4．【答案】b
【解析】同文科7
5．【答案】c
【解析】用間接法解答：四名學生中有兩名學生分在乙個班的種數是，順序有種，而甲乙被分在同乙個班的有種，所以種數是
6．【答案】b
【解析】令得
令時令時
兩式相加得：
兩式相減得：
代入極限式可得，故選b
7．【答案】a
【解析】易得準線方程是
所以即所以方程是
聯立可得由可解得a
8．【答案】b
【解析】同文8
9.【答案】d
【解析】由題意可知球的體積為，則，由此可得，而球的表面積為，
所以，即，故選d
10.【答案】c
【解析】同文10
11.【答案】-2
【解析】由不等式判斷可得a≠0且不等式等價於
由解集特點可得
12.【答案】64 0.4
【解析】同文15
13.【答案】12800arccos
【解析】如圖所示，可得ao=42400，則在
rt△abo中可得cos∠aob=
所以14.【答案】1
【解析】因為所以
故15.【答案】4 5 32
【解析】（1）若為偶數，則為偶, 故
①當仍為偶數時， 故
②當為奇數時，
故得m=4。
（2）若為奇數，則為偶數，故必為偶數
，所以=1可得m=5
16.解析：依題意，可分別取、6、11取，則有
的分布列為
.17.解析：（1）解法1：則
，即當時，有所以向量的長度的最大值為2.
解法2：，，
當時，有，即，
的長度的最大值為2.
（2）解法1：由已知可得
。，，即。
由，得，即。
,於是。
解法2：若，則，又由，得
，，即，平方後化簡得
解得或，經檢驗，即為所求
18.（ⅰ）證法1：如圖1，連線be、bd，由地面abcd是正方形可得ac⊥bd。
sd⊥平面abcd， bd是be在平面abcd上的射影， ac⊥be
（ⅱ）解法1：如圖1，由sd⊥平面abcd知，∠dbe=,
sd⊥平面abcd，cd平面abcd, sd⊥cd。
又底面abcd是正方形， cd⊥ad，而sd ad=d，cd⊥平面sad.
連線ae、ce，過點d在平面sad內作de⊥ae於f，連線cf，則cf⊥ae，
故∠cdf是二面角c-ae-d的平面角，即∠cdf=。
在rt△bde中， bd=2a，de=
在rt△ade中,
從而在中，.
由，得.
由，解得，即為所求.
（i） 證法2：以d為原點，的方向分別作為x，y，z軸的正方向建立如
圖2所示的空間直角座標系，則
d（0，0，0），a（，0，0），b（，，0），c（0，，0），e（0，0），
，即。（ii） 解法2：
由（i）得.
設平面ace的法向量為n=(x，y，z)，則由得
。 易知平面abcd與平面ade的乙個法向量分別為.
0<，，
由於，解得，即為所求。
19.解析：（i）在中，令n=1，可得，即
當時，，
. .
又數列是首項和公差均為1的等差數列.
於是.(ii)由（i）得，所以
由①-②得
於是確定的大小關係等價於比較的大小
由可猜想當證明如下：
證法1：（1）當n=3時，由上驗算顯示成立。
（2）假設時
所以當時猜想也成立
綜合（1）（2）可知 ，對一切的正整數，都有
證法2：當時
綜上所述，當，當時
20題。本小題主要考察拋物線的定義和幾何性質等平面解析幾何的基礎知識，考查綜合運用數學知識進行推理運算的能力。（14分）
解：依題意，可設直線mn的方程為，則有
由消去x可得
從而有於是
又由，可得
（ⅰ）如圖1，當時，點即為拋物線的焦點，為其準線
此時①可得
證法1：
證法2：
(ⅱ)存在，使得對任意的，都有成立，證明如下：
證法1：記直線與x軸的交點為,則。於是有
將①、②、③代入上式化簡可得
上式恆成立，即對任意成立
證法2：如圖2，連線,則由可得
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