三、解答題
10．求下列函式的導數．
(1)y＝x2sin x；(2)y＝ex＋1ex－1；
11．已知曲線f(x)＝12e2x－1在點a處的切線和曲線g(x)＝12e－2x－1在點b處切線互相垂直，o為座標原點且 ＝0，求△aob的面積．
12．已知曲線s：y＝3x－x3及點p(2,2)．
(1)求過點p的切線方程；
(2) 求證：與曲線s切於點(x0，y0)( x0≠0)的切線與s至少有兩個交點．
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詳解答案
一、選擇題[**
1. 解析：由導數的幾何意義可知，f′(2)、f′(3)分別表示曲線在x＝2，x＝3處的切線的斜率，而f(3)－f(2)表示直線ab的斜率，即kab＝f(3)－f(2)．
由圖形可知0答案：b
2．解析：y′＝3x2，故曲線在點p(1,12)處的切線斜率是3，故切線方程是y－12＝3(x－1)，令x＝0得y＝9.
答案：c
3．解析：y′＝cos x sin x＋cos x －sin x cos x－sin x sin x＋cos x 2＝11＋sin 2x，把x＝π4代入得導數值為12.
答案：b
4．解析：∵y′＝2ax，∴y′|x＝1＝2a.即y＝ax2在點(1，a)處的切線斜率為2a.
直線2x－y－6＝0的斜率為2.∵這兩直線平行，∴它們的斜率相等，即2a＝2，解得a＝1.
答案：a
5．解析：設p(x0，y0)，則y′|x＝x0＝2x0－1x0.
由2x0－1x0＝1 ，得x0＝1或x0＝－12(舍)．
∴p點座標(1,1)．
∴p到直線y＝x－2距離為d＝|1－1－2|1＋1＝2.
答案：b
6．解析：因為m′(t)＝－130m02 ln2，所以m′(30)＝－160m0ln2＝－10ln2.所以m0＝600.
所以m(t)＝600×2 .所以m(60)＝600×2－2＝150(太貝克)．
答案：d
二、填空題
7．解析：f′(x)＝2x＋2f′(1)，
∴f′(1)＝2＋2f′(1)，即f′(1)＝－2.
∴f′(x)＝2x－4，∴f′(0)＝－4.
答案：－4
8．解析：f′(x)＝－3x2＋a，y＝f(x)的圖象在點p處的切線的傾斜角為π4，即f′(1)＝tanπ4，∴－3＋a＝1，
解得a＝4.
答案：4
9．解析：曲線f(x)＝ax 5＋lnx存在垂直於y軸的切線，即f′(x)＝0有解．
又∵f′(x)＝5ax4＋1x，
∴方程5ax4＋1x＝0有解．
∴5ax5＝－1 有解．
又∵x>0，∴a<0.
故實數a的取值範圍是(－∞，0)．
答案：(－∞，0)
三、解答題
10．解：(1)y′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′＝2xsin x＋x2cos x.
(2)法一：y′＝ ex＋1 ′ ex－1 － ex＋1 ex－1 ′ ex－1 2
＝ex ex－1 － ex＋1 ex ex－1 2＝－2ex ex－1 2.
法二：∵y＝ex－1＋2ex－1＝1＋2ex－1，
∴y′＝1′＋(2ex－1)′，即y′＝－2ex ex－1 2.
11．解：f′(x)＝12e2x－1(2x－1)′＝ e2x－1，
g′(x)＝12e－2x－1(－2x－1)′＝－e－2x－1，
設a(x1，y1)，b(x2，y2)，
∴＝y1 ，y2＝ ，
f′(x1)＝ ，g′(x2)＝ ，
∴x1－x2＝1，x1x2 ＝－14，
∴x1＝12，x2＝－12，
∴y1＝12，y2 ＝12，
∴oa＝22，ob＝22，
即a(12，12)，b(－12，12)．
∵ ＝0，
∴ ⊥ ，
∴s△aob＝12×22×22＝14.
12．解：(1)設切點為(x0，y0)，則y0＝3x0－x30.
又f′(x)＝3－3x2，∴切線斜率k＝y0－2x0－2＝3－3x20.
即3x0－x30－2＝(x0－2)(3－3x20)．
∴(x0－1)[(x0－1)2－3]＝0.
解得x0＝1或x0＝1±3.
相應的斜率k＝0或k＝－9±63，
∴切線方程為y＝2或y＝(－9±63)(x－2)＋2.
(2)證明：與曲線s切於點(x0，y0)的切線方程可設為
y－y0＝(3－3x20)(x－x0)，[**
與曲線s的方程聯立，消去y，
得3x－x3－y0＝3(1－x20)(x－x0)，
即3x－x3－(3x0－x30)＝3(1－x20)(x－x0)．
即(x－x0)2(x＋2x0)＝0，則x＝x0或x＝－2x0，
因此，與曲線s切於點(x0，y0)(x0≠0)的切線，與s至少有兩個交點．
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