2023年全國普通高等學校招生統一考試
上海數學試卷（理工農醫類）
一填空（4』×11）
1.不等式|x－1|＜1的解集是
2.若集合a＝、b＝滿足a∩b＝，則實數a＝
3.若複數z滿足z＝i(2-z)（i是虛數單位），則z＝
4.若函式f(x)的反函式為f －1(x)＝x2（x＞0），則f(4)＝
5.若向量、滿足||＝1，||＝2，且與的夾角為，則
6.函式f(x)＝sin x +sin(+x)的最大值是
7.在平面直角座標系中，從六個點：a(0,0)、b(2,0)、c(1,1)、d(0,2)、e(2,2)、f(3,3)中任取三個，這三點能構成三角形的概率是 （結果用分數表示）
8.設函式f(x)是定義在r上的奇函式，若當x∈(0,+∞)時，f(x)＝lg x，則滿足f(x)＞0的x的取值範圍
是9.已知總體的各個體的值由小到大依次為2,3,3,7,a,b,12，13.7，18.3，20，且總體的中位數為10.5，若要使該總體的方差最小，則a、b的取值分別是
10.某海域內有一孤島，島四周的海平面（視為平面）上有一淺水區（含邊界），其邊界是長軸長為2a，短軸長為2b的橢圓，已知島上甲、乙導航燈的海拔高度分別為h1、h2，且兩個導航燈在海平面上的投影恰好落在橢圓的兩個焦點上，現有船隻經過該海域（船隻的大小忽略不計），在船上測得甲、乙導航燈的仰角分別為θ1、θ2，那麼船隻已進入該淺水區的判別條件是
11.方程x2+x－1＝0的解可視為函式y＝x+的影象與函式y＝的影象交點的橫座標，若x4+ax－4＝0的各個實根x1，x2，…，xk (k≤4)所對應的點(xi ,)（i＝1,2,…,k）均在直線y＝x的同側，則實數a的取值範圍是
二選擇（4』×4）
12.組合數c（n＞r≥1，n、r∈z）恆等於（ ）
a． cb．(n+1)(r+1)c c．nr cd． c
13. 給定空間中的直線l及平面，條件「直線l與平面內無數條直線都垂直」是「直線l與平面垂直」的（ ）條件
a．充要b．充分非必要c．必要非充分 d．既非充分又非必要
14. 若數列是首項為1，公比為a－的無窮等比數列，且各項的和為a，則a的值是（ ）
a．1b．2cd．
15.如圖，在平面直角座標系中，是乙個與x軸的正半軸、y軸的正半軸分別相切於點c、d的定圓所圍成區域（含邊界），a、b、c、d是該圓的四等分點，若點p(x,y)、p』(x』,y』)
滿足x≤x』 且y≥y』，則稱p優於p』，如果中的點q滿足：不存在中
的其它點優於q，那麼所有這樣的點q組成的集合是劣弧（ ）
abcd．
16.(12』)如圖，在稜長為2的正方體abcd-a1b1c1d1中，e是bc1的中點，
求直線de與平面abcd所成角的大小（結果用反三角函式表示）
17.(13』)如圖，某住宅小區的平面圖呈圓心角為120的扇形aob，小區的兩個出入口設定在點a及點c處，且小區裡有一條平行於bo的小路cd，已知某人從c沿cd走到d用了10分鐘，從d沿da走到a用了6分鐘，若此人步行的速度為每分鐘50公尺，求該扇形的半徑oa的長（精確到1公尺）
18.(5』+10』)已知函式f(x)＝sin2x，g(x)＝cos(2x+)，直線x＝t（t∈r）與函式f(x)、g(x)的影象分別交於m、n兩點
⑴當t＝時，求|mn|的值
⑵求|mn|在t∈[0,]時的最大值
20.(3』+5』+8』)設p(a,b)（b≠0）是平面直角座標系xoy中的點，l是經過原點與點(1,b)的直線，記q是直線l與拋物線x2＝2py（p≠0）的異於原點的交點
⑴已知a＝1，b＝2，p＝2，求點q的座標
⑵已知點p(a,b)（ab≠0）在橢圓+y2＝1上，p＝，求證：點q落在雙曲線4x2－4y2＝1上
⑶已知動點p(a,b)滿足ab≠0，p＝，若點q始終落在一條關於x軸對稱的拋物線上，試問動點p的軌跡落在哪種二次曲線上，並說明理由
19.(8』+8』)已知函式f(x)＝2x－
⑴若f(x)＝2，求x的值
⑵若2t f(2t)+m f(t)≥0對於t∈[1,2]恆成立，求實數m的取值範圍
21.(3』+7』+8』)已知以a1為首項的數列滿足：an＋1＝
⑴當a1＝1，c＝1，d＝3時，求數列的通項公式
⑵當0＜a1＜1，c＝1，d＝3時，試用a1表示數列的前100項的和s100
⑶當0＜a1＜（m是正整數），c＝，d≥3m時，求證：數列a2－，a3m+2－，a6m+2－，a9m+2－成等比數列當且僅當d＝3m
2023年全國普通高等學校招生統一考試上海數學試卷
參***（理工農醫類）
一、（第1題至第11題）
1. 2. 2. 3.. 4.2. 5..
6.2. 7.. 8.. 9..
10. 11..
二、（第12題至第15題）
三、（第16題到第21題）
16.[解]過作，交於，連線.
平面，是直線與平面所成的角4分
由題意，得.
8分10分
故直線與平面所成角的大小是12分
17 [解法一]設該扇形的半徑為公尺，連線2分
由題意，得
(公尺)，（公尺4分
在△中6分
即9分解得（公尺）
答：該扇形的半徑的長約為445公尺13分
[解法二]連線，作，交於2分
由題意，得（公尺），（公尺）， ……4分
在△中，
（公尺6分
.在直角△中，（公尺9分
（公尺）.
答：該扇形的半徑的長約為445公尺13分
18.[解]（1）設是雙曲線上任意一點，
該雙曲的兩條漸近線方程分別是和2分
點到兩條漸近線的距離分別是和， ……4分
它們的乘積是.
點到雙曲線的兩條漸線的距離的乘積是乙個常數6分
（2）設的座標為，則
8分11分13分
當時，的最小值為，
即的最小值為15分
19．解（1）當時，；當時，
由條件可知，即
解得（2）當時，
即，，， 故的取值範圍是
20．解
（1）當時，
解方程組得即點的座標為
（2）【證明】由方程組得即點的座標為
時橢圓上的點，即
，因此點落在雙曲線上
（3）設所在的拋物線方程為
將代入方程，得，即
當時，，此時點的軌跡落在拋物線上；
當時， ，此時點的軌跡落在圓上；
當時，，此時點的軌跡落在橢圓上；
當時，此時點的軌跡落在雙曲線上；
21．解
（1）由題意得
(2) 當時，
，，，，，
， ，，
（3）當時，
，；， ；
， ，，，
綜上所述，當時，數列，，，
是公比為的等比數列
當時，，
15分由於，，
故數列不是等比數列
所以，數列成等比數列
當且僅當18分
2019高考上海數學理科試卷含詳細解答
2008年 上海卷 數學 理科 一 填空題 本大題滿分44分 1.不等式的解集是 解 由.2.若集合，滿足，則實數 解 3.若複數z滿足 是虛數單位 則 解 4.若函式的反函式為，則 解 令.5.若向量 滿足，且與的夾角為，則 解 6.函式的最大值是 解 由.7.在平面直角座標系中，從六個點 a 0...
2023年北京高考數學 理科 試題
一.選擇題 共8小題，每小題5分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項 1.已知集合，則 2.下列函式中，在區間上為增函學科網數的是 3.曲線 為引數 的對稱中心 在直線上在直線上 在直線上在直線上 4.當時，執行如圖所示的程式框圖，輸出的值為 5.設是公比為的等比數列，則是為...
2019安徽省高考數學理科試題 含官方答案
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