2023年（上海卷）數學（理科）
一： 填空題（本大題滿分44分）1.不等式的解集是
解：由.
2.若集合，滿足，則實數 .
解：.3.若複數z滿足（是虛數單位），則 .
解：.4.若函式的反函式為，則
解：令.
5.若向量、滿足，且與的夾角為，則 .
解：.6.函式的最大值是
解：由.
7.在平面直角座標系中，從六個點：a(0,0)、b(2,0)、c(1,1)、d(0,2)、e(2,2)、f(3,3)中任取三個，這三點能構成三角形的概率是結果用分數表示）.
解：已知六個無共線的點生成三角形總數為：；可構成三角形的個數為：，所以所求概率為：；
8.設函式是定義在上的奇函式，若當時，，則滿足的的取值範圍是
解：由f(x)為奇函式得：
，所以滿足的的取值範圍是
9.已知總體的各個體的值由小到大依次為2,3,3,7,a,b,12，13.7，18.3，20，且總體的中位數為10.5，若要使該總體的方差最小，則a、b的取值分別是
解：根據總體方差的定義知，只需且必須時，總體方差最小；
10.某海域內有一孤島，島四周的海平面（視為平面）上有一淺水區（含邊界），其邊界是長軸長為2a，短軸長為2b的橢圓，已知島上甲、乙導航燈的海拔高度分別為h1、h2，且兩個導航燈在海平面上的投影恰好落在橢圓的兩個焦點上，現有船隻經過該海域（船隻的大小忽略不計），在船上測得甲、乙導航燈的仰角分別為，那麼船隻已進入該淺水區的判別條件是
解： ；
11.方程的解可視為函式的影象與函式的影象交點的橫座標，若的各個實根所對應的點均在直線的同側，則實數a的取值範圍是 .
解：方程的根顯然，原方程等價於，原方程的實根是曲線與曲線的交點的橫座標；而曲線是由曲線向上或向下平移個單位而得到的。若交點均在直線的同側，因直線與交點為：；所以結合圖象可得：；
二、選擇題（本大題滿分16分）
12.組合數c（n＞r≥1，n、r∈z）恆等於（ ）
a． c b．(n+1)(r+1)c c．nr c d． c
解：由.
13. 給定空間中的直線l及平面，條件「直線l與平面內無數條直線都垂直」是「直線l與平面垂直」的（ ）條件
a．充要 b．充分非必要 c．必要非充分 d．既非充分又非必要
解：直線與平面內的無數條平行直線垂直，但該直線未必與平面垂直，即充分性不成立；
14. 若數列是首項為1，公比為的無窮等比數列，且各項的和為，則的值
是（ ） a．1b．2cd．
解：由.
15. 如圖，在平面直角座標系中，是乙個與x軸的正半軸、y軸的正半軸分別相切於點c、d的定圓所圍成區域（含邊界），a、b、c、d是該圓的四等分點，若點p(x,y)、p』(x』,y』)滿足x≤x』 且y≥y』，則稱p優於p』，如果中的點q滿足：不存在中的其它點優於q，那麼所有這樣的點q組成的集合是劣弧（ ） a． b． c． d．
解：由題意知，若p優於,則p在的左上方,
當q在上時, 左上的點不在圓上,不存在其它優於q的點,
q組成的集合是劣弧.
三. 解答題（本大題滿分90分）
16.(12』)如圖，在稜長為2的正方體abcd-a1b1c1d1中，e是bc1的中點，
求直線de與平面abcd所成角的大小（結果用反三角函式表示）
解：過作，交於，連線.
平面，是直線與平面所成的角. ……4分
由題意，得.
8分， . ……10分
故直線與平面所成角的大小是. ……12分
17.(13』)如圖，某住宅小區的平面圖呈圓心角為120°
的扇形aob，小區的兩個出入口設定在點a及點c
處，且小區裡有一條平行於bo的小路cd，已知某
人從c沿cd走到d用了10分鐘，從d沿da走到a
用了6分鐘，若此人步行的速度為每分鐘50公尺，
求該扇形的半徑oa的長（精確到1公尺）
解：[解法一] 設該扇形的半徑為公尺，連線. ……2分
由題意，得(公尺)，（公尺），
……4分
在△中， ……6分
即， ……9分
解得（公尺）
答：該扇形的半徑的長約為445公尺13分
18.(6』+9』)已知雙曲線，為上的任意點。
（1）求證：點到雙曲線的兩條漸近線的距離的乘積是乙個常數；
（2）設點的座標為，求的最小值；
解：（1）設是雙曲線上任意一點，
該雙曲的兩條漸近線方程分別是和2分
點到兩條漸近線的距離分別是和， ……4分
它們的乘積是.
點到雙曲線的兩條漸線的距離的乘積是乙個常數6分
（2）設的座標為，則
8分11分
13分當時，的最小值為，
即的最小值為15分
19.(8』+8』)已知函式f(x)＝2x－
⑴ 若f(x)＝2，求x的值
⑵ 若2t f(2t)+m f(t)≥0對於t∈[1,2]恆成立，求實數m的取值範圍
解：（1）當時，；當時， ……2分
由條件可知，即
解得6分
8分（2）當時10分
即，， ……13分
， 故的取值範圍是16分
20.(3』+5』+8』)設p(a,b)（b≠0）是平面直角座標系xoy中的點，l是經過原點與點(1,b)的直線，記q是直線l與拋物線x2＝2py（p≠0）的異於原點的交點
⑴ 若a＝1，b＝2，p＝2，求點q的座標
⑵ 若點p(a,b)（ab≠0）在橢圓+y2＝1上，p＝，
求證：點q落在雙曲線4x2－4y2＝1上
⑶ 若動點p(a,b)滿足ab≠0，p＝，若點q始終落在一條關於x軸對稱的拋物線上，試問動點p的軌跡落在哪種二次曲線上，並說明理由
解：（1）當時，
解方程組得即點的座標為 ……3分
（2）【證明】由方程組得
即點的座標為5分
時橢圓上的點，即 ，
因此點落在雙曲線上8分
（3）設所在的拋物線方程為10分
將代入方程，得，即 ……12分
當時，，此時點的軌跡落在拋物線上；
當時， ，此時點的軌跡落在圓上；
當時，，此時點的軌跡落在橢圓上；
當時，此時點的軌跡落在雙曲線上； ……16分
21.(3』+7』+8』)已知以a1為首項的數列滿足：an＋1＝
⑴ 當a1＝1，c＝1，d＝3時，求數列的通項公式
⑵ 當0＜a1＜1，c＝1，d＝3時，試用a1表示數列的前100項的和s100
⑶ 當0＜a1＜（m是正整數），c＝，d≥3m時，求證：數列a2－，a3m+2－，a6m+2－，a9m+2－成等比數列當且僅當d＝3m
解：(1)由題意得3分
(2)當時，
，，，，，
， ，，……6分
10分 （3）當時，
， ；
， ，，，
綜上所述，當時，數列，，，
是公比為的等比數列13分
當時，，
15分由於，，
故數列不是等比數列
所以，數列成等比數列
當且僅當18分
2019高考上海數學理科試題含答案
2008年全國普通高等學校招生統一考試 上海數學試卷 理工農醫類 一填空 4 11 1.不等式 x 1 1的解集是 2.若集合a b 滿足a b 則實數a 3.若複數z滿足z i 2 z i是虛數單位 則z 4.若函式f x 的反函式為f 1 x x2 x 0 則f 4 5.若向量 滿足 1，2，且...
高考數學理科試卷結構
一 考試形式 考試採用閉卷 筆答形式，考試時間為120分鐘，全卷滿分150分，考試不使用計算器。二 試卷結構 1 題型和賦分 全卷包括選擇題 填空題 解答題三種題型，選擇題是四選一型的單項選擇題 填空題每題有乙個或多個空，只要求直接寫結果，不必寫出計算過程或推證過程 解答題包括計算題 證明題和應用題...
數學 理科 試卷
2010 2011學年度第二學期高一年級 3月份月考數學 理科 試卷 一 選擇題 每小題5分，共60分 1 已知全集u，集合a，b，那麼集合c是 a b c d 2.函式的零點所在區間為 a b cd 3.若構成 a 等差數列b 等比數列 c 是等差數列也是等比數列 d 不是等差數列也不是等比數列 ...