2023年全國高考數學浙江卷
數學（理科）
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中只有一項是符合題目要求的.
1.(15浙江高考)已知集合，，則（ ）
a. b. c. d.
【參***】c
【測量目標】集合的運算.
【試題分析】由題意得，，，故選c.
2. (15浙江高考)某幾何體的三檢視如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積是（ ）
a.8 b.12 c. d.
第2題圖
【參***】c
【測量目標】三檢視.
【試題分析】由題意得，該幾何體為一立方體與四稜錐的組合，體積，故選c.
3. (15浙江高考)已知是等差數列，公差不為零，前項和是，若成等比數列，則（ ）
ab.cd.
【參***】b
【測量目標】等差數列的通項公式及前項和，等比數列的概念.
【試題分析】等差數列，成等比數列，
，，，故選b.
4. (15浙江高考)命題「且」的否定形式是（ ）
a.且b.或
c.且 d.或
【參***】d
【測量目標】命題的否定.
【試題分析】根據全稱命題的否定是特稱命題，可知選d.
5. (15浙江高考)如圖，設拋物線的焦點為，不經過焦點的直線上有三個不同的點，其中點在拋物線上，點在軸上，則△與△的面積之比是（ ）
第5題圖
a. b. c. d.
【參***】a
【測量目標】拋物線的標準方程及其性質.
【試題分析】，故選a.
6. (15浙江高考)設是有限集，定義，其中表示有限集中的元素個數，
命題①：對任意有限集，「」是「」的充要條件；
命題②：對任意有限集，，
a.命題①和命題②都成立b.命題①和命題②都不成立
c.命題①成立，命題②不成立 d.命題①不成立，命題②成立
【參***】a
【測量目標】集合的性質.
【試題分析】命題①顯然正確，通過下面文氏圖亦可知表示的區域不大於的區域，故命題②也正確，故選a.
第6題圖
7. (15浙江高考)存在函式滿足，對任意都有（ ）
ab.cd.
【參***】d
【測量目標】函式的概念.
【試題分析】a：取，可知，即，再取，可知，即，矛盾， a錯誤；同理可知b錯誤，c：取，可知，再取，可知，矛盾， c錯誤，d：令，符合題意，故選d.
8. (15浙江高考)如圖，已知△，是的中點，沿直線將△折成△，所成二面角的平面角，則（ ）
第8題圖
a. b. c. d.
【參***】b
【測量目標】立體幾何中的動態問題.
【試題分析】根據摺疊過程可知與的大小關係是不確定的，而根據二面角的定義易得，當且僅當時，等號成立，故選b.
二、填空題：本大題共7小題，多空題每題6分，單空題每題4分，共36分.
9. (15浙江高考)雙曲線的焦距是漸近線方程是
【參***】，.
【測量目標】雙曲線的標準方程及其性質.
【試題分析】由題意得：，焦距為，漸近線方程.
10. (15浙江高考)已知函式，則的最小值是
【參***】0，.
【測量目標】分段函式.
【試題分析】，當時，，當且僅當時，等號成立，當時，，當且僅當時，等號成立，故最小值為.
11. (15浙江高考)函式的最小正週期是單調遞減區間是
【參***】.
【測量目標】三角恒等變形，三角函式的性質.
【試題分析】，故最小正週期為，單調遞減區間為
.12. (15浙江高考)若，則________.
【參***】
【測量目標】對數的計算.
【試題分析】.
13. (15浙江高考)如圖，三稜錐中，,點分別是的中點，則異面直線所成的角的余弦值是
第13題圖
【參***】
【測量目標】異面直線的夾角.
【試題分析】如下圖，鏈結，取中點，鏈結，則可知即為異面直線所成角（或其補角）易得:，, ,
，即異面直線所成角的余弦值為.
第13題圖
14. (15浙江高考)若實數滿足，則的最小值是
【參***】3
【測量目標】線性規劃的運用，分類討論的數學思想，直線與圓的位置關係.
【試題分析】表示圓及其內部，易得直線與圓相離，故，當時，，如下圖所示，可行域為小的弓形內部，目標函式，則可知當時，，當時，，可行域為大的弓形內部，目標函式，同理可知當時，，綜上所述，的最小值為3.
第14題圖
15. (15浙江高考)已知是空間單位向量，，若空間向量滿足，且對於任意，，則
【參***】，，
【測量目標】平面向量的模長，函式值的最值.
【試題分析】問題等價於當且僅當時，取得最小值1，兩邊平方即在時，取得最小值1，
， .三、解答題：本大題共5小題，共74分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
16. (15浙江高考)（本小題滿分14分）
在△中，內角所對的邊分別為，已知.
（1）求的值；
（2）若△的面積為7，求的值.
【測量目標】三角恒等變形，正弦定理.
【試題分析】（1）由及正弦定理得，，又由，即，得,解得；（2）由，得，又，，由正弦定理得，又，故.
17. (15浙江高考)（本題滿分15分）如圖，在三稜柱中，，在底面的射影為的中點，為的中點.
（1）證明：平面;
（2）求二面角的平面角的余弦值.
第17題圖
【測量目標】線面垂直的判定與性質，二面角的求解.
【試題分析】（1）設為中點，由題意得平面，，，故平面，由分別為的中點，得且，從而，所以四邊形為平行四邊形，故，又平面， 平面；（2）作，且，鏈結，由，，得,由，得，由，得，因此為二面角的平面角，由，且由餘弦定理得，.
第17題圖
18. (15浙江高考)（本題滿分15分）已知函式，記是在區間上的最大值.
（1）證明：當時，；
（2）當滿足時，求的最大值.
【測量目標】二次函式的性質，分類討論的思想.
【試題分析】（1）由，得對稱軸為直線，由得，故在上單調， ，當時，由，得，即；當時，由，得，即，綜上，當時，；（2）由得，故，由，得，當時，，且在上的最大值為，即，所以的最大值為.
19. (15浙江高考)（本題滿分15分）已知橢圓上兩個不同的點關於直線對稱.
（1）求實數的取值範圍；
（2）求△的面積最大值（為座標原點）.
第17題圖
【測量目標】直線與橢圓的位置關係，點到直線的距離公式，求函式最值.
【試題分析】（1）由題知，可設直線的方程為，由消去，得，直線與橢圓有兩個不同的交點， ①
將中點代入直線方程解得 ②
由①②得或；（2）令，則，且到直線的距離為，設△的面積為，，當且僅當時，等號成立，故△面積的最大值為.
20. (15浙江高考)（本題滿分15分）已知數列滿足且
（1）證明：；
（2）設數列的前項和為，證明.
【測量目標】數列與不等式結合綜合題.
【試題分析】（1）由題意得，，即，由得，由得
，即；（2）由題意得，①，由和得，，因此②，由①②得.
2023年浙江高考數學 理科
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