第六章向量代數與空間解析幾何
習題 6—1
1. 在平行四邊形abcd中設a b 試用a和b表示向量、、、 其中m是平行四邊形對角線的交點
解由於平行四邊形的對角線互相平分所以
ab 即 (ab) 於是(ab)
因為所以(ab)
因為所以(ab)
因為ab 所以(ba)
2. 若四邊形的對角線互相平分，用向量方法證明它是平行四邊形.
證 ∵，，∴，與平行且相等，結論得證.
3. 求起點為，終點為的向量與的座標表示式.
解 ∵,
∴.4. 求平行於的單位向量.
解與平行的單位向量為.
5. 在空間直角座標系中，指出下列各點在哪個卦限？
解 a：ⅳ; b：ⅴ; c：ⅷ; d：ⅲ.
6. 求點與軸，平面及原點的對稱點座標.
解關於軸的對稱點為，關於平面的對稱點為，關於原點的對稱點為.
7. 已知點求它在各座標平面上及各座標軸上的垂足的座標（即投影點的座標）.
解分別為.
8. 過點分別作平行於軸的直線和平行於面的平面，問它們上面的點的座標各有什麼特點？
解平行於軸的直線上面的點的座標；平行於面的平面上的點的座標為.
9. 求點到原點、各座標軸和各座標面的距離.
解到原點的距離為，到軸的距離為，到軸的距離為，到軸的距離為.
10. 求證以、、三點為頂點的三角形是乙個等腰三角形.
解 ,
,，即，因此結論成立.
11. 在座標面上，求與三個點等距離的點的座標.
解設座標面所求點為，依題意有，從而,,
聯立解得，故所求點的座標為.
12.軸上，求與點, 點等距離的點.
解設所求軸上的點為，依題意：
，兩邊平方得，故所求點為.
13. 求使向量與向量平行.
解由得得.
14. 求與軸反向，模為10的向量的座標表示式.
解 .
15. 求與向量平行，模為10的向量的座標表示式.
解 ，故.
16. 已知向量，，試求：
（12）．
解 （1）;
（2）.
17. 已知兩點和，求向量的模、方向余弦和方向角．
解因為，所以, 從而，，.
18. 設向量的方向角為、、．若已知其中的兩個角為，．求第三個角．
解 ，由得.故或.
19. 已知三點，求：（1）與及其模；（2）的方向余弦、方向角；（3）與同向的單位向量.
解 （1）由題意知
故.（2）因為所以，由向量的方向余弦的座標表示式得：
，方向角為：.
（3）與同向的單位向量為.
20. 設和在軸上的投影和在軸上的分向量.
解 . 故向量在軸上的投影，在軸上的投影分量為.
21. 一向量的終點為點，它在軸，軸和軸上的投影依次為，和，求這向量起點的座標.
解設點為，依題意有：
，故，即所求的點.
22. 已知向量的兩個方向余弦為cos=，cos=，且與軸的方向角是鈍角. 求cos.
解因，，又因為是鈍角，所以.
23. 設三力作用於同一質點，求合力的大小和方向角.
解合力，因此，合力的大小為合力的方向余弦為因此
習題 6—2
1.，，，求，，，及，，，.
解 ，，，所以，，.，，，.
2.，求及與的夾角余弦.
解 （1）, .
（2）.
3. 已知，求.
解 ∵，
∴.4. 證明下列問題：（1）證明：向量與向量垂直；（2）證明：向量與向量垂直.
證 （1）∵, ∴，即與垂直.
（2）∵，
∴.5. 求點的向徑與座標軸之間的夾角.
解設與、、軸之間的夾角分別為，則
∴6. 求與平行且滿足的向量.
解因為, 可設，由得，即，從而.
7. 求與向量，都垂直的單位向量.
解 ，∵
∴8. 在頂點為、和的三角形中，求三角形的面積以及邊上的高.
解 ，，三角形的面積為
∴9. 已知向量，，證明：.
證10. 證明：如果，那麼，並說明它的幾何意義.
證由, 有, 但，於是, 所以. 同理由, 有, 從而. 其幾何意義是以三角形的任二邊為鄰邊構成的平行四邊形的面積相等.
11. 已知向量和，計算下列各式：
（1）；（2）；（3）； （4）.
解 （1）.
（2），故.
（3）.
（4）由（3）知.
習題 6—3
1. 已知，，求線段的垂直平分面的方程.
解設是所求平面上任一點，據題意有
化簡得所求方程.這就是所求平面上的點的座標所滿足的方程，而不在此平面上的點的座標都不滿足這個方程，所以這個方程就是所求平面的方程.
2. 一動點移動時，與及平面等距離，求該動點的軌跡方程.
解設在給定的座標系下，動點，所求的軌跡為，則
, 即∴從而所求的軌跡方程為.
3. 求下列各球面的方程：
（1）圓心，半徑為； （2）圓心在原點，且經過點；
（3）一條直徑的兩端點是與；
（4）通過原點與.
解 （1）所求的球面方程為：.
（2）由已知，半徑，所以球面方程為.
（3）由已知，球面的球心座標，球的半徑，所以球面方程為
.（4）設所求的球面方程為：，因為該球面經過點，所以
解得∴ 所求的球面方程為.
4. 將座標面上的拋物線繞旋轉一周，求所生成的旋轉曲面的方程．
解 (旋轉拋物面) .
5. 將座標面上的雙曲線分別繞軸和軸旋轉一周，求所生成的旋轉曲面的方程．
解繞軸旋轉得，繞軸旋轉得.
6. 指出下列曲面的名稱，並作圖：
（1） （23）
（45）
（6）（7）（8）
（9）（10）
解根據旋轉曲面的有關知識，
（1）橢圓柱面； （2）拋物柱面； （3）圓柱面；
（4）球面5）圓錐面6）雙曲拋物面；
（7）橢圓拋物面； （8）雙葉雙曲面； （9）旋轉橢球面；
（10）單葉雙曲面.
7. 指出下列方程在平面解析幾何和空間解析幾何中分別表示什麼圖形？
（1） ；（2）；（3）；（4）.
解 （1）在平面解析幾何中表示直線，在空間解析幾何中表示平面；
（2）在平面解析幾何中表示圓周，在空間解析幾何中表示圓柱面；
（3）在平面解析幾何中表示雙曲線，在空間解析幾何中表示雙曲柱面；
（4）在平面解析幾何中表示拋物線，在空間解析幾何中表示拋物柱面.
8. 說明下列旋轉曲面是怎樣形成的？
（12）
（34）
解 （1）平面上橢圓繞軸旋轉而成；或者平面上橢圓繞軸旋轉而成；
（2）平面上的雙曲線繞軸旋轉而成；或者平面上的雙曲線繞軸旋轉而成；
（3）平面上的雙曲線繞軸旋轉而成；或者平面上的雙曲線繞軸旋轉而成；
（4）平面上的直線繞軸旋轉而成或者平面上的直線繞軸旋轉而成.
9. 畫出下列各曲面所圍立體的圖形：
（1）與三個座標平面所圍成；
（2）及三座標平面所圍成；
（3）及在第一卦限所圍成；
（4）所圍.
解 （1）平面與三個座標平面圍成乙個在第一卦限的四面體；
（2）拋物柱面與平面及三座標平面所圍成；
（3）座標面，及平面和圓柱面在第一卦限所圍成；
（4）開口向上的旋轉拋物面與開口向下的拋物面所圍. 作圖略.
習題 6—4
1. 畫出下列曲線在第一卦限內的圖形
（12）（3）
解 （1）是平面與相交所得的一條直線；
（2）上半球面與平面的交線為圓弧；
（3）圓柱面與的交線. 圖形略.
2. 分別求母線平行於軸及軸而且通過曲線的柱面方程.
解消去座標得，為母線平行於軸的柱面；
消去座標得，為母線平行於軸的柱面.
3. 求在平面內以座標原點為圓心的單位圓的方程（任寫出三種不同形式的方程）.
解4. 試求平面與橢球面相交所得橢圓的半軸與頂點.
解將橢圓方程化簡為： 可知其為平面上的橢圓，半軸分別為，頂點分別為.
5. 將下面曲線的一般方程化為引數方程
（12）
解 （1）原曲線方程即： 化為
（2）.
6. 求螺旋線在三個座標面上的投影曲線的直角座標方程.
解7. 指出下列方程所表示的曲線
（1） （2）
（3） （4）
（5）解 （1）圓; （2）橢圓; （3）雙曲線; （4）拋物線; （5）雙曲線.
8. 求曲線在面上的投影曲線方程，並指出原曲線是何種曲線.
解原曲線是位於平面上的拋物線，所求投影曲線為
9. 求曲線在座標面上的投影.
解 （1）消去變數後得，在面上的投影為它是中心在原點，半徑為的圓周；
（2）因為曲線在平面上，所以在面上的投影為線段
（3）同理在面上的投影也為線段.
10. 求拋物面與平面的交線在三個座標面上的投影曲線方程.
解交線方程為
（1）消去得投影
（2）消去得投影
（3）消去得投影
習題 6—5
1. 寫出過點且以為法向量的平面方程.
解平面的點法式方程為.
2. 求過三點的平面方程.
解設所求平面方程為，將點的座標分別代入平面方程，可得，故所求平面方程為.
3. 求過點且與平面平行的平面方程.
解依題意，可取所求平面的法向量為，從而其方程為
即.4. 求通過軸和點的平面的方程
解平面通過x軸，一方面表明它的法線向量垂直於軸，即，另一方面它必通過原點，即. 設這平面的方程為. 又因為這平面通過點，所以有，或.
將其代入所設方程並除以，便得所求的平面方程為.
5. 求過點，且垂直於平面和的平面方程.
解 ，，取法向量，所求平面方程為化簡得
6. 6 設平面過原點及點，且與平面垂直，求此平面方程.
解設所求
解設平面為，由平面過點知平，由平面過原點知，∵，∴，所求平面方程為
7. 寫出下列平面方程：
（1）平面； （2）過軸的平面； （3）平行於的平面；
（4）在，，軸上的截距相等的平面.
解 （12）（為不等於零的常數）,
（3）(為常數), （4）.
8. 求平行於而與三個座標面所圍成的四面體體積為1的平面方程.
解設平面為∵∴，因為所求平面與已知平面平行得
令代入得，即
或所求平面方程為或.
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