（數學選修2-1）第三章空間向量與立體幾何解答題精選1 已知四稜錐的底面為直角梯形，，底面，且，，是的中點（ⅰ）證明：面面；
（ⅱ）求與所成的角；
（ⅲ）求面與面所成二面角的大小
證明：以為座標原點長為單位長度，如圖建立空間直角座標系，則各點座標為（ⅰ）證明：因
由題設知，且與是平面內的兩條相交直線，由此得面又在面上，故面⊥面（ⅱ）解：因
（ⅲ）解：在上取一點，則存在使要使為
所求二面角的平面角
2 如圖，在四稜錐中，底面是正方形，側面是正三角形,平面底面
（ⅰ）證明：平面；
（ⅱ）求面與面所成的二面角的大小
證明：以為座標原點，建立如圖所示的座標圖系（ⅰ）證明：不防設作，
則，，由得，又，因而與平面內兩條相交直線，都垂直 ∴平面（ⅱ）解：設為中點，則，
由因此，是所求二面角的平面角，
解得所求二面角的大小為
3 如圖，在四稜錐中，底面為矩形，
側稜底面，，，，
為的中點
（ⅰ）求直線與所成角的余弦值；
（ⅱ）在側面內找一點，使麵，
並求出點到和的距離
解：（ⅰ）建立如圖所示的空間直角座標系，
則的座標為、
、、、、，
從而設的夾角為，則
∴與所成角的余弦值為
（ⅱ）由於點在側面內，故可設點座標為，則
，由麵可得，
∴即點的座標為，從而點到和的距離分別為
4 如圖所示的多面體是由底面為的長方體被截面所截面而得到的，其中（ⅰ）求的長；
（ⅱ）求點到平面的距離
解：（i）建立如圖所示的空間直角座標系，則，設 ∵為平行四邊形，
（ii）設為平面的法向量，
的夾角為，則
∴到平面的距離為
5 如圖，在長方體，中，，點在稜上移動 （1）證明：；
（2）當為的中點時，求點到面的距離；
（3）等於何值時，二面角的大小為
解：以為座標原點，直線分別為軸，建立空間直角座標系，設，則（1）（2）因為為的中點，則，從而，
，設平面的法向量為，則
也即，得，從而，所以點到平面的距離為
（3）設平面的法向量，∴
由令，∴
依題意∴（不合，捨去），
∴時，二面角的大小為
6 如圖，在三稜柱中，側面，為稜上異於的一點，，已知，求：
（ⅰ）異面直線與的距離；
（ⅱ）二面角的平面角的正切值
解：（i）以為原點，、分別為軸建立空間直角座標系由於，
在三稜柱中有,設
又側面，故因此是異面直線的公垂線，
則，故異面直線的距離為
（ii）由已知有故二面角的平面角的大小為向量的夾角7 如圖，在四稜錐中，底面為矩形，底面，是上一點， 已知
求（ⅰ）異面直線與的距離；
（ⅱ）二面角的大小
解：（ⅰ）以為原點，、、分別為
軸建立空間直角座標系
由已知可得
設 由，
即由，又，故是異面直線與的公垂線，易得，故異面直線,的距離為
（ⅱ）作，可設由得
即作於，設，則由，
又由在上得
因故的平面角的大小為向量的夾角
故即二面角的大小為
選修2 1 第三章 空間向量及其運算知識點
兩向量的數量積 已知空間兩個非零向量a，b，向量a，b的數量積記作a b，且a b a b cos a，b 2 空間向量數量積的運算律 結合律 a b a b 交換律 a b b a 分配律 a b c a b a c.5 空間向量的座標表示及應用 設a a1，a2，a3 b b1，b2，b3 1 ...
第三章向量
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第三章向量
系專業班姓名學號 第一節 n維向量第二節向量間的線性關係 一 選擇題 1 n維向量線性相關的充分必要條件是d a 對於任何一組不全為零的陣列都有 b 中任何個向量線性相關 c 設，非齊次線性方程組有無窮多解 d 設，a的行秩 s.2 若向量組線性無關，向量組線性相關，則c a 必可由線性表示b 必不...