②兩向量的數量積：已知空間兩個非零向量a，b，向量a，b的數量積記作a·b，且a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(2)空間向量數量積的運算律： ①結合律：(λa)·b＝λ(a·b)； ②交換律：a·b＝b·a； ③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
5． 空間向量的座標表示及應用
設a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)
(1)數量積的座標運算：a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3.
(2)共線與垂直的座標表示：a∥ba＝λba1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3 (λ∈r)，
a⊥ba·b＝0a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均為非零向量)．
(3)模、夾角和距離公式：|a|＝＝，
cos〈a，b〉＝＝.
設a(a1，b1，c1)，b(a2，b2，c2)，則dab＝||＝.
6. 用空間向量解決幾何問題的一般步驟：
(1)適當的選取基底；
(2)用a，b，c表示相關向量；
(3)通過運算完成證明或計算問題．
題型一空間向量的線性運算
用已知向量來表示未知向量，應結合圖形，將已知向量和未知向量轉化至三角形或平行四邊形中，表示為其他向量的和與差的形式，進而尋找這些向量與基向量的關係．
例1：三稜錐o—abc中，m，n分別是oa，bc的中點，g是△abc的重心，用基向量，，表示， .
解析例2：如圖所示，abcd－a1b1c1d1中，abcd是平行四邊形．若＝，＝2，且,試求x、y、z的值．
.解連線af
題型二共線定理應用
向量共線問題：充分利用空間向量運算法則，用空間中的向量表示a與b，化簡得出a＝b，從而得出a∥b，即a與b共線．
點共線問題：證明點共線問題可轉化為證明向量共線問題，如證明a、b、c三點共線，即證明與共線．
例3：如圖所示，四邊形abcd，abef都是平行四邊形且不共面，m，n分別是ac，bf的中點，判斷與是否共線？
∵∴＝2，∴∥，即與共線．
例4：如圖所示，在正方體abcd－a1b1c1d1中，e在a1d1上，且＝2ed1，f在對角線a1c上，且＝.
求證：e，f，b三點共線．
證明： 設＝a，＝b，＝c.
∴＝2=＝ba＋b－c
∴e＝－＝a－b－c＝，＝＋＋＝－b－c＋a＝a－b－c，
∴＝.所以e，f，b三點共線．
題型三共面定理應用
點共面問題：證明點共面問題可轉化為證明向量共面問題，如要證明p、a、b、c四點共面，只要能證明＝x＋y，或對空間任一點o，有＝＋x＋y或＝x＋y＋z (x＋y＋z＝1)即可
例5：已知a、b、c三點不共線，對於平面abc外一點o，若＝＋＋，則點p是否與a、b、c一定共面？試說明理由．
解析：∵
故a、b、c、p四點共面.
例6：如圖所示，已知p是平行四邊形abcd所在平面外一點，鏈結pa、pb、pc、pd，點e、f、g、h分別為△pab、△pbc、△pcd、△pda的重心，應用向量共面定理證明：e、f、g、h四點共面．
證明：分別延長pe、pf、pg、ph交對邊於m、n、q、r.
∵ e、f、g、h分別是所在三角形的重心，∴m、n、q、r為所在邊的中點
順次鏈結m、n、q、r，所得四邊形為平行四邊形，且有＝，＝，＝，＝.
＝＋. ∴由共面向量定理得e、f、g、h四點共面.
例7：正方體abcd－a1b1c1d1中，e，f分別是bb1和a1d1的中點，求證向量，，是共面向量．
證明：如圖所示
由向量共面的充要條件知，，是共面向量．
題型四空間向量數量積的應用
例8：①如圖所示，平行六面體abcd—a1b1c1d1中，以頂點a為端點的三條稜長都為1，且兩兩夾角為60°.
(1)求ac1的長2)求bd1與ac夾角的余弦值．
解析：(1)記＝a，＝b，＝c，則|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，∴a·b＝b·c＝c·a＝.
||2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝1＋1＋1＋2×＝6，∴||＝，即ac1的長為.
(2)＝b＋c－a，＝a＋bb＋c－a)·(a＋b)＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1.
∴cos〈，〉＝＝.∴ac與bd1夾角的余弦值為.
②已知空間四邊形abcd的每條邊和對角線的長都等於a，點e、f分別是bc、ad的中點，則·的值為a．a2 b. a2 c. a2 d. a2
解析：設＝a，＝b，＝c，則|a|＝|b|＝|c|＝a，且a，b，c三向量兩兩夾角為60°.
＝(a＋b)，＝c，∴·＝(a＋b)·c＝(a·c＋b·c)＝(a2cos60°＋a2cos60°)＝a2.
題型五空間向量座標運算
例9：如圖所示，pd垂直於正方形abcd所在平面，ab＝2，e為pb的中點，cos〈，〉＝，若以da，dc，dp所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角座標系，則點e的座標為 ( )
a．(1,1,1b. c. d．(1,1,2)
設pd＝a (a>0)，則a(2,0,0)，b(2,2,0)，p(0,0，a)，e，
∴＝(0,0，a)，＝，cos〈，〉＝，∴＝a·，∴a＝2.∴e的座標為(1,1,1)．
例10：已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)．若a，b，c三向量共面，則實數
解析：由題意得c＝ta＋μb＝(2t－μ，－t＋4μ，3t－2μ)，∴ ∴
例11：已知△abc的頂點a(1,1,1)，b(2,2,2)，c(3,2,4)，試求△abc的面積
＝(1,1,1)，＝(2,1,32＋1＋3＝6，
∴cosa＝cos〈，〉＝＝.∴sina＝＝.
∴s△abc＝||·||·sina＝×××＝.
例12：已知a＝(λ＋1,0,2)，b＝(6,2μ－1,2λ)，若a∥b，則λ與μ的值可以是( )
a．2bc．－3,2d．2,2
解析由題意知：解得或
例13：已知空間中三點a(－2,0,2)，b(－1,1,2)，c(－3,0,4)，設a＝，b＝.，若ka＋b與ka－2b互相垂直，求實數k的值．
方法一 ∵ka＋b＝(k－1，k,2)．ka－2b＝(k＋2，k，－4)，且ka＋b與ka－2b互相垂直，
k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)＝(k－1)(k＋2)＋k2－8＝0，∴k＝2或－，
方法二由(2)知|a|＝，|b|＝，a·b＝－1，∴(ka＋b)·(ka－2b)＝k2a2－ka·b－2b2＝2k2＋k－10＝0，得k＝2或－.
例14：已知空間三點a(0,2,3)，b(－2,1,6)，c(1，－1,5)．
(1)求以，為邊的平行四邊形的面積；
(2)若|a|＝，且a分別與，垂直，求向量a的座標．
解(1)cos〈，〉＝＝＝＝.∴sin〈，〉＝，
∴以，為邊的平行四邊形的面積為s＝2×||·||·sin〈，〉＝14×＝7.
（2）設a＝(x，y，z)，由題意得，解得或，
例15：如圖所示，在正方體abcd—a1b1c1d1中，e、f分別在a1d、ac上，且a1e＝a1d，af＝ac，則 ( )
a．ef至多與a1d、ac之一垂直 b．ef與a1d、ac都垂直 c．ef與bd1相交 d．ef與bd1異面
解析：設ab＝1，以d為原點，da所在直線為x軸，dc所在直線為y軸，dd1所在直線為z軸建立空間直角座標系，則a1(1,0,1)，d(0,0,0)，a(1,0,0)，c(0,1,0)，e，f，b(1,1,0)，d1(0,0,1)，＝(－1,0，－1)，＝(－1,1,0)，＝，＝(－1，－1，1)，＝－，·＝·＝0，從而ef∥bd1，ef⊥a1d，ef⊥ac.
例16：已知o(0,0,0)，a(1,2,3)，b(2,1,2)，p(1,1,2)，點q在直線op上運動，當·取最小值時，點q的座標是
解析：設＝λ＝(λ，λ，2λ)，則＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，＝(2－λ，1－λ，2－2λ)．
∴·＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)(2－2λ)＝6λ2－16λ＋10＝6(λ－)2－.
∴當λ＝時，·取最小值為－.此時，＝(，，)，
綜合練習
1、選擇題
1、下列命題：其中不正確的所有命題的序號為
?若a、b、c、d是空間任意四點，則有＋＋＋＝0； ?|a|－|b|＝|a＋b|是a、b共線的充要條件；
?若a、b共線，則a與b所在直線平行；
?對空間任意一點o與不共線的三點a、b、c，若＝x＋y＋z (x、y、z?r)，則p、a、b、c四點共面．
⑤設命題p：a，b，c是三個非零向量；命題q：為空間的乙個基底，則命題p是命題q的充要條件
解析：選②③④⑤，①中四點恰好圍成一封閉圖形，正確；②中當a、b同向時，應有|a|＋|b|＝|a＋b|；③中a、b所在直線可能重合；④中需滿足x＋y＋z＝1，才有p、a、b、c四點共面；⑤只有不共面的三個非零向量才能作為空間的乙個基底，應改為必要不充分條件
2、有下列命題：其中真命題的個數是( )
?若p＝xa＋yb，則p與a，b共面若p與a，b共面，則p＝xa＋yb；
數學選修2 1第三章空間向量與立體幾何解答題
數學選修2 1 第三章空間向量與立體幾何解答題精選1 已知四稜錐的底面為直角梯形，底面，且，是的中點 證明 面面 求與所成的角 求面與面所成二面角的大小 證明 以為座標原點長為單位長度，如圖建立空間直角座標系，則各點座標為 證明 因 由題設知，且與是平面內的兩條相交直線，由此得面又在面上，故面 面 ...
第三章向量
2 線性相關 3.相關結論 含零向量必線性相關 n 1個n維向量必線性相關 部分相關,整體必相關 整體無關,部分必無關.向量個數變動 原向量組無關,接長向量組無關 接長向量組相關,原向量組相關.向量維數變動 若線性無關，而線性相關,則可由線性表示,且表示法唯一.如果多數向量可以用少數向量表示，則多數...
第三章向量
系專業班姓名學號 第一節 n維向量第二節向量間的線性關係 一 選擇題 1 n維向量線性相關的充分必要條件是d a 對於任何一組不全為零的陣列都有 b 中任何個向量線性相關 c 設，非齊次線性方程組有無窮多解 d 設，a的行秩 s.2 若向量組線性無關，向量組線性相關，則c a 必可由線性表示b 必不...