空間點、直線、平面之間的位置關係
平面的概念：平面是無限伸展的；乙個平面把空間分成兩部分。
平面的畫法：畫法：通常畫平行四邊形來表示平面。
水平平面：通常畫成銳角成45°，橫邊等於鄰邊的兩倍。
非水平平面：只要畫成平行四邊形。
直立的平面：一組對邊為鉛垂線。
相交的平面：一定要畫出交線；遮住部分的線段畫虛線或不畫。
練習： 畫乙個平面、相交平面
平面的表示：通常用希臘字母α、β、γ表示，如平面α（通常寫在乙個銳角內）；也可以用兩個相對頂點的字母來表示，如平面bc。
點與平面的關係：點a在平面內，記作；點不在平面內，記作
公理1：如果一條直線的兩點在乙個平面內，那麼這條直線是所有的點都在這個平面內。（即直線在平面內，或者平面經過直線）
符號：點a的直線l上，記作：a∈l； 點a在直線l外，記作al；
直線l在平面α內，記作lα。
用符號語言表示公理1：
公理2：經過不在同一條直線上的三點，有且只有乙個平面。
記寫：平面abc。
公理3：如果兩個不重合的平面有乙個公共點,那麼它們有且只有一條過該點的公共直線
符號：平面α和β相交，交線是a，記作α∩β＝a。
符號語言：
練習1、根據符號語言畫出下列圖形：① a∩α＝a，b∈a，但bα；② a∩b＝a，bα，aα
2、 過直線l上三點a、b、c分別作三條互相平行的直線a、b、c，討論四條直線共面？
兩條直線的位置關係：
① 例項** → 定義異面直線：不同在任何乙個平面內的兩條直線.
→ 以長方體為例，尋找一些異面直線？ →性質：既不平行，又不相交。
→畫法：以輔助平面襯托：（三種）
→討論：分別在兩個平面內的兩條直線，是不是異面直線？
②討論：空間兩條直線的位置關係：（整理如下）
平行公理：
① 提出公理4：平行於同一條直線的兩條直線互相平行？
② 出示例：空間四邊形abcd，e、h分別是邊ab、ad的中點，f、g分別是邊cb、cd上的點，且＝＝，求證：efgh是梯形。
等角定理：
① 討論：平面幾何中，兩角對邊分別平行，且方向相同，則兩角有何關係？到立體幾何中呢？
② 提出定理：如果乙個角的兩邊和另乙個角的兩邊分別平行且方向相同，那麼這兩角相等，若單純平行，則這兩個角相等或互補。
如果兩條異面直線所成的角是直角，那麼我們就說這兩條直線互相垂直
練習已知空間邊邊形abcd各邊長與對角線都相等，求異直線ab和cd所成的角的大小.
直線與平面的位置關係：
① 討論：直線和平面有哪幾種位置關係？
② 定義：直線和平面平行：直線和平面沒有公共點。
→小結：三種位置關係：直線在平面內、相交、平行；
→**：公共點情況；
→定義：直線在平面外：相交或平行的情況。
③三種位置關係的圖形畫法：
④ 三種位置關係的符號表示：
aα a∩α＝a a∥α （後兩個統稱為aα）
平面與平面的位置關係：
① 以長方體為例，**相關平面之間的位置關係？
② 討論得出：相交、平行。 →定義：平行：沒有公共點；相交：有一條公共直線。
→符號表示b →舉例項：…
③ 畫法：相交：……
平行：使兩個平行四邊形的對應邊互相平行
④ 練習： 畫平行平面；畫一條直線和兩個平行平面相交；畫乙個平面和兩個平行平面相交
⑤ **：
a. 分別在兩平行平面的兩條直線有什麼位置關係？
b. 三個平面兩兩相交，可以有交線多少條？
c. 三個平面可以將空間分成多少部分？
練習1. 三個平面兩兩相交於三條直線，交線不平行，求證：三條交線交於一點.
2. 已知e、f、g、h分別是空間四邊形abcd的邊ab、bc、cd、da上的點，且eh與fg交於點o, 求證：b、d、o三點共線.
3. 求證：空間四邊形各邊的中點共面.
直線、平面平行的判定及其性質
線面平行的判定定理：
① **:有平面和平面外一條直線a,什麼條件可以得到a//？
分析:要滿足平面內有一條直線和平面外的直線平行。
判定定理:平面外一條直線與此平面內一條直線平行,則該直線與此平面平行.
符號語言:
思想: 線線平行線面平行
② 練習：ⅰ、判斷對錯
直線a與平面α不平行，即a與平面α相交
直線a∥b，直線b平面α，則直線a∥平面α． （ ）
直線a∥平面α，直線b平面α，則直線a∥b． （ ）
例1求證：:空間四邊形相鄰兩邊中點的連線平行於經過另外兩邊所在的平面.
例2在正方體abcd- a』b』c』d』中，e為dd』中點，試判斷bd』與面aec的位置關係，並說明理由
兩個平面平行的判定定理：
① 討論：兩個平面平行，其中乙個平面內的直線和另乙個平面有什麼位置關係？乙個平面內有兩條直線平行於乙個平面，這兩個平面有什麼位置關係？
② 將討論的結論用符號語言表示：aβ，bβ，a∩b＝p，a∥α，b∥α，則β∥α。
③ 以長方體模型為例，**面面平行的情況.
④ 提出判定定理：乙個平面內有兩條相交直線都平行於另乙個平面，那麼這兩個平面平行。
☆ 圖形語言、文字語言、符號語言；
☆ 思想：線面平行→面面平行.
⑤ 討論：判斷水平平面的方法及其原理。
⑥ 出示例：平行於同乙個平面的兩個平面互相平行。
變問：垂直於同一條直線的兩個平面呢？
⑦ 討論：a. 如果乙個平面內有兩條相交直線分別平行於另乙個平面內的兩條相交直線，那麼這兩個平面是否平行？
b. 平面α上有不在同一直線上的三點到平面β的距離相等，則α與β的位置關係是怎樣的？試證明你的結論
例：在長方體abcd-a1b1c1d1 , 求證：平面ab1d1∥平面c1bd.
已知長方體abcd-a1b1c1d1中，e、f分別是a a1、cc1的中點。
求證：平面bdf//平面b1d1e
線面平行的性質定理：
① 討論：如果一條直線和乙個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，那麼這條直線和交線的位置關係如何？
② 給出線面性質定理：一條直線與乙個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行。
符號語言：．
③ 討論性質定理的證明：
∵，∴和沒有公共點，
又∵，∴和沒有公共點；
即和都在內，且沒有公共點，∴．
④ 討論：如果過平面內一點的直線平行於與此平面平行的一條直線，那麼這條直線是否在此平面內？ 如果兩條平行直線中的一條平行於乙個平面，那麼另一條與平面有何位置關係？
例1：已知直線a∥直線b，直線a∥平面α,bα，
求證：b∥平面α
例2：有一塊木料如圖，已知稜bc平行於面a′c′．要經過木料表面a′b′c′d′ 內的一點p和稜bc將木料鋸開，應怎樣畫線？所畫的線和面ac有什麼關係？
如圖，b∥c，求證：a∥b∥c
面面平行性質定理：
① 討論：兩個平面平行，其中乙個平面內的直線與另乙個平面有什麼位置關係？兩個平面內的直線有什麼位置關係？當第三個平面和兩個平行平面都相交，兩條交線有什麼關係？為什麼？
② 提出性質定理：兩個平行平面同時和第三個平面相交，那麼它們的交線平行。
③ 用符號語言表示性質定理：
例：如果一條直線與兩個平行平面中的乙個相交，那麼它與另乙個平面也相交
例：求證夾在兩個平行平面間的兩條平行線的長相等.
練習1. 兩條直線被三個平行平面所截，得到四條線段. 求證：這四條線段對應成比例.
2. 已知是兩條異面直線，平面，平面，面，平面，求證：．
*3. 設是單位正方體的面、面的中心，
如圖：（1）證明：平面； （2）求線段的長。
直線、平面垂直的判定及其性質
直線與平面垂直的定義：
定義：如果直線與平面內的任意一條直線都垂直，則直線與平面互相垂直，記作.
－平面的垂線，－直線的垂面，它們的唯一公共點叫做垂足.（線線垂直線面垂直）
2.教學直線與平面垂直的判定：
判定定理：一條直線與乙個平面內的兩條相交直線都垂直，則這條直線與該平面垂直.
圖形語言→符號語言：若⊥，⊥，∩＝b， ， ，則⊥
→辨析（討論正確性）：
a.若一條直線垂直於平面內的兩條直線，則這條直線垂直於這個平面；
b.若一條直線垂直於乙個平面內的無數條直線，則這條直線垂直於這個平面；
c.若一條直線平行於乙個平面，則垂直於這個平面的直線必定垂直於這條直線；
d.若一條直線垂直於乙個平面，則垂直於這條直線的另一直線必垂直於這個平面.
練習：如圖，在長方體中，
與平面垂直的直線有
與直線垂直的平面有 .
例1：如圖，已知，求證：
1. 平行四邊形abcd所在平面外有一點p，且pa=pb=pc=pd，求證：點p與平行四邊形對角線交點o的連線po垂直於ab、ad
2. 如圖，已知ap所在平面，ab為的直徑，c是圓周上的任意，過點a作於點e. 求證：平面pbc.
二面角的定義：
①定義：從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫二面角（dihedral angle）. 這條直線叫做二面角的稜，這兩個半平面叫做二面角的面. 記作二面角. （簡記）
②二面角的平面角：在二面角的稜上任取一點，以點為垂足，在半平面內分別作垂直於稜的射線和，則射線和構成的叫做二面角的平面角.
作用：衡量二面角的大小；範圍：.
平面與平面垂直的判定：
①定義：兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直. 記作. （能用定義來判定兩個平面是否垂直？）
②判定定理：乙個平面過另乙個平面的垂線，則這兩個平面垂直. （線面垂直面面垂直）
如圖，是的直徑，垂直於所在的平面，是圓周上不同於的任意一點，求證：平面.
如圖，已知三稜錐的三個側面與底面全等，且，求以為稜，以麵與面為面的二面角的大小？
練習1、如圖，是正方形，是正方形的中心，，的中點，求證：（1）；（2）
2、在正方體中，二面角的余弦值.
直線與平面垂直的性質定理：
①定理：垂直於同乙個平面的兩條直線平行. （線面垂直線線平行）
表示直線，表示平面，則的充分條件是（ ）
a、 b、 c、 d、所在的角相等
設直線分別在正方體中兩個不同的平面內，欲使，應滿足什麼條件？
必修一第二章
絕密 啟用前 2015 2016學年度?學校10月月考卷 試卷副標題 考試範圍 考試時間 100分鐘 命題人 注意事項 1 答題前填寫好自己的姓名 班級 考號等資訊 2 請將答案正確填寫在答題卡上 第i卷 選擇題 請點選修改第i卷的文字說明 1 函式在區間上的最小值是 ab 0c 1d 2 2 已知...
7必修二第二章大題
必修2第2章 點直線平面之間的位置關係 1.設矩形abcd，e f分別為ab cd的中點，以ef為稜將矩形 折成二面角a ef c1。求證 平面ab1e 平面c1df。2.已知三稜錐s abc中，abc 90 側稜sa 底面abc，點a在稜sb和sc上的射影分別是點e f。求證ef sc。3.在三稜...
必修二第二章測試題
一 選擇題 本大題共10小題，每小題5分，共50分 在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的 1 下面四個命題 分別在兩個平面內的兩直線是異面直線 若兩個平面平行，則其中乙個平面內的任何一條直線必平行於另乙個平面 如果乙個平面內的兩條直線平行於另乙個平面，則這兩個平面平行 如果乙個平面內的...