第二章隨機變數及其分布
第一節隨機變數的概念
一、隨機變數概念的引入
為全面研究隨機試驗的結果, 揭示隨機現象的統計規律性, 需將隨機試驗的結果數量化，即把隨機試驗的結果與實數對應起來.
1. 在有些隨機試驗中, 試驗的結果本身就由數量來表示.
2. 在另一些隨機試驗中, 試驗結果看起來與數量無關,但可以指定乙個數量來表示之.
二、隨機變數的定義
定義設隨機試驗的樣本空間為, 稱定義在樣本空間上的實值單值函式為隨機變數.
隨機變數與高等數學中函式的比較:
(1) 它們都是實值函式,但前者在試驗前只知道它可能取值的範圍,而不能預先肯定它將取哪個值;
(2) 因試驗結果的出現具有一定的概率,故前者取每個值和每個確定範圍內的值也有一定的概率.
三、引入隨機變數的意義
隨機變數的引入,使得隨機試驗中的各種事件可通過隨機變數的關係式表達出來.
由此可見,隨機事件這個概念實際上是包容在隨機變數這個更廣的概念內.也可以說,隨機事件是從靜態的觀點來研究隨機現象,而隨機變數則以動態的觀點來研究之.其關係類似高等數學中常量與變數的關係.
隨機變數概念的產生是概率論發展史上的重大事件. 引入隨機變數後,對隨機現象統計規律的研究,就由對事件及事件概率的研究轉化為隨機變數及其取值規律的研究,使人們可利用數學分析的方法對隨機試驗的結果進行廣泛而深入的研究.
隨機變數因其取值方式不同, 通常分為離散型和非離散型兩類. 而非非離散型隨機變數中最重要的是連續型隨機變數. 今後，我們主要討論離散型隨機變數和連續型隨機變數.
第二節離散型隨機變數及其分布函式
一、離散型隨機變數及其概率分布
定義設離散型隨機變數的所有可能取值為, 稱為的概率分布或分布律, 也稱概率函式.
常用**形式來表示的概率分布:
二、常用離散分布
退化分布兩點分布個點上的均勻分布二項分布幾何分布超幾何分布
泊松分布：泊松分布是概率論中最重要的幾個分布之一. 實際問題中許多隨機現象都服從或近似服從泊松分布.
三、二項分布的泊松近似
定理1 (泊松定理) 在重伯努利試驗中, 事件在每次試驗中發生的概率為(注意這與試驗的次數有關), 如果時, (為常數), 則對任意給定的, 有
. 第三節隨機變數的分布函式
一. 隨機變數的分布函式
定義設是乙個隨機變數, 稱
為的分布函式.有時記作或.
分布函式的性質
1. 單調非減. 若, 則；
2. 3. 右連續性. 即
二、離散型隨機變數的分布函式
設離散型隨機變數的概率分布為
則的分布函式為.
第四節連續型隨機變數及其概率密度
一、 連續型隨機變數及其概率密度
定義如果對隨機變數的分布函式,存在非負可積函式,使得對於任意實數有則稱為連續型隨機變數, 稱為的概率密度函式,簡稱為概率密度或密度函式.
關於概率密度的說明
1. 對乙個連續型隨機變數,若已知其密度函式,則根據定義,可求得其分布函式, 同時, 還可求得的取值落在任意區間上的概率:
2. 連續型隨機變數取任一指定值的概率為0.
3. 若在點處連續, 則1)
二、常用連續型分布
均勻分布
定義若連續型隨機變數的概率密度為
則稱在區間上服從均勻分布, 記為.
指數分布
定義若隨機變數的概率密度為
則稱服從引數為的指數分布.簡記為
正態分佈
定義若隨機變數的概率密度為
其中和都是常數, 則稱服從引數為和的正態分佈. 記為
注: 正態分佈是概率論中最重要的連續型分布, 在十九世紀前葉由高斯加以推廣, 故又常稱為高斯分布.
一般來說，乙個隨機變數如果受到許多隨機因素的影響，而其中每乙個因素都不起主導作用（作用微小），則它服從正態分佈. 這是正態分佈在實踐中得以廣泛應用的原因. 例如, 產品的質量指標, 元件的尺寸, 某地區成年男子的身高、體重, 測量誤差, 射擊目標的水平或垂直偏差, 訊號雜訊、農作物的產量等等, 都服從或近似服從正態分佈.
標準正態分佈
正態分佈當時稱為標準正態分佈, 此時, 其密度函式和分布函式常用和表示:
標準正態分佈的重要性在於, 任何乙個一般的正態分佈都可以通過線性變換轉化為標準正態分佈.
定理設則
標準正態分佈表的使用：
（1）表中給出了時的數值, 當時, 利用正態分佈的對稱性, 易見有
（2） 若則
（3）若, 則故的分布函式
第五節隨機變數函式的分布
一、 隨機變數的函式
定義如果存在乙個函式, 使得隨機變數滿足:
,則稱隨機變數是隨機變數的函式.
注: 在微積分中,我們討論變數間的函式關係時, 主要研究函式關係的確定性特徵, 例如:導數、積分等.
而在概率論中, 我們主要研究是隨機變數函式的隨機性特徵, 即由自變數的統計規律性出發研究因變數的統計性規律.
一般地, 對任意區間, 令, 則
注: 隨機變數與的函式關係確定,為從的分布出發匯出的分布提供了可能.
二、離散型隨機變數函式的分布
設離散型隨機變數的概率分布為
易見,的函式顯然還是離散型隨機變數.
如何由的概率分布出發匯出的概率分布? 其一般方法是：先根據自變數的可能取值確定因變數的所有可能取值, 然後對的每乙個可能取值確定相應的於是
從而求得的概率分布.
三、 連續型隨機變數函式的分布
一般地, 連續型隨機變數的函式不一定是連續型隨機變數, 但我們主要討論連續型隨機變數的函式還是連續型隨機變數的情形, 此時我們不僅希望求出隨機變數函式的分布函式, 而且還希望求出其概率密度函式.
設已知的分布函式或概率密度函式, 則隨機變數函式的分布函式可按如下方法求得:
其中而常常可由的分布函式來表達或用其概率密度函式的積分來表達:
進而可通過的分布函式, 求出的密度函式.
定理1 設隨機變數具有概率密度,又設處處可導且恒有(或恒有), 則是乙個連續型隨機變數,其概率密度為
其中是的反函式, 且
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