在這一章中，首先建立空間直角座標系，引進自由向量，並以座標和向量為基礎，用代數的方法討論空間的平面和直線，在此基礎上，介紹一些常用的空間曲線與曲面。通過這一章的學習，培養空間想象能力，嫻熟的向量代數的計算能力和推理、演繹的邏輯思維能力。也為學習多元微積分做準備。
重點：曲面方程，曲線方程
難點：較深刻地理解曲面（平面）、曲線（直線）方程，並能把握方程所表示的圖形的特徵。
（一）1．空間笛卡爾座標系的構成：空間的乙個定點，連同三個兩兩互相垂直的有序向量組，稱為笛卡爾座標系。當，，的相互關係和右手拇指、食指、中指相同時，稱為右手座標系。
在通常的討論中，常用右手笛卡爾座標系。關於一般的座標系稱為仿射座標系，有興趣的同學可參閱《空間解析幾何》這類專業教材。
2．空間向量可以從兩個途徑來認識：
①由定義：具有大小和方向的量稱為向量，因此可由方向（可由方向角來確定）連同大小（模長）來確定（注意，這樣定義的向量稱為自由向量，簡稱向量，自由向量與起點和終點無關）。書上往往用黑體字母表示，手寫時用黑體並不方便，常在字母上面加乙個箭頭表示，例：
，等。②可由向量的座標來把握向量。必須分清向量座標與點座標這兩個概念，一般情況下，設的始點的座標分別為，，則，即向量的座標與向量的起點及終點的座標間有下列關係：
，，。因此，若確定了向量的座標，則這個向量就確定了。
當向量的起點與座標系的原點重合時，向量的座標與向量的終點的座標在數值上相等。
3．在學習向量的代數運算時，利用幾何或物理模型比較容易掌握。如求向量的加法和減法可以平行四邊形或以力的相加或相減為模型，求兩向量的數量積可以求力在某段路程上所作的功為模型，求兩向量的向量積可以求力關於某點的力矩為模型，並要熟練掌握每種運算的算律。
4．乙個平面具有各種形式的方程，如點法式，三點式，截距式，一般式。在學習平面的各種形式的方程時，對方程中常數的幾何意義應引起充分的注意。如：
平面方程，則為平面的乙個法向量，建立平面的方程時應根據條件靈活處理。點法式方程是應用較方便，常用的方程型別，這是因為在討論平面問題時，平面的法向量常常起著關鍵性的作用。
5．確定空間一條直線的方法很多，在《高等數學》中把它歸結為由直線上的乙個定點和與直線平行的乙個非零向量來確定，或將它看成兩個平面的交線。空間直線的標準式方程與引數式方程，二維空間中的直線均有對應的形式，但要注意，只有空間直線可看成兩個平面的交線。
6．在《高等數學》中，常用的曲面方程為：
（二）1．向量在軸上的投影是個常用的概念，要注意向量在軸上的投影是乙個數量而不是乙個向量，也不是乙個線段。
設向量，其中投影軸為，點，在軸上的投影分別為，，若取與軸同方向的單位向量為，則有稱為在軸上的投影。因此向量在軸上的投影不是有向線段，而是乙個數值，記為，易知，其中為與軸的夾角。
2．向量在座標軸上的投影稱為向量的座標。
3．向量的數量積，向量積一覽表：
4．要熟練掌握平面，直線的各種形式的方程互化，關鍵在於明確在各種形式的方程中，各個量（常量、變數）的幾何意義以及它們之間的關係，在此基礎上，互化是容易做到的。如建立平面的三點式方程時，若硬記公式則不容易記牢的，但從三個向量共面的角度去思考就能牢牢地記住。
5．要深刻理解空間直角座標系下平面的方程是乙個關於，，的一次方程。反之，任何乙個關於，，的一次方程都表示乙個平面。
6．平面與平面、直線與直線、平面與直線間的位置關係均是通過平面的法向量間，直線的方向向量間，或平面法向量與直線的方向向量間的位置關係來討論，因此可歸結為向量問題來解決。如：兩個平面間的夾角問題通過它們的法向量的夾角來解決。
7．常用的曲面方程見（a）中6，要真正掌握這些曲面的形狀、特徵，可以用「平行平面截割法」，也就是用一族平行平面（一般平行於座標面）來截割曲面，研究所截得的一族曲線是怎樣變化的，從這一族截線的變化情況即可推想出所表示的曲面的整體形狀，這是認識曲面的重要方法，它的基本思想是把複雜的空間圖形歸結為比較容易認識的平面曲線。
8．空間曲線一般由兩個曲面相交而得，這樣的曲面有無窮多個，若曲線的形狀不易把握時，可先將兩個曲面方程通過消去未知數的方法得兩個過曲線的射影柱面的方程，而射影柱面的形狀是較容易把握的。
9．空間曲面和曲線除了利用圖形上的點的座標所滿足的關係建立方程外，還常用引數方程來表示。引數方程的特徵是方程中既有表示座標的變數，也有座標以外的其他變數（稱引數），且座標變數，，分別可以表示成引數的函式。
10．曲線（直線）的引數方程均含乙個引數，曲面（平面）的引數方程含兩個引數。簡單的引數方程消去引數後可化得普通方程，但並不是所有的引數方程都能化成普通方程的。
（三）1．三個向量相乘有混合積和雙重向量積，其中雙重向量積的討論可見《空間解析幾何》這類專業教材，對於混合積在高等數學中應用較多，它具有乙個十分重要的幾何意義，即當，，不共面時，的絕對值等於，，為稜的平行六面體的體積。因此利用混合積可以解決求一類體積的問題。
2．三個以上的向量相乘的問題總可轉化為三個向量相乘，因此可歸結為三個向量相乘來討論。
3．混合積的座標表示與特徵性質
設，，，則
， ，，共面。
4．在學習曲面與空間曲線時，應注意兩點：
① 空間曲面方程的定義與平面曲線方程的定義相類似，通常將曲面看成具有某種特徵性質的空間點的軌跡，用方程來表示，從集合的觀點來看，曲面就是所有滿足方程的點的集合。
② 要充分理解空間曲線一般方程的定義。 這裡強調用通過空間曲線的任意兩個曲面的方程來表示，即用通過空間曲線的兩個曲面方程聯立起來表示空間曲線。若由方程和表示的兩個曲面，除去曲線：
上的點是它們的公共點外，再也沒有別的公共點，則用表示它們交線的方程。但要注意，聯立任意的兩個曲面方程，它們可能不表示任何空間曲線，例如，從代數上看這是乙個矛盾方程組，不存在解；從幾何上看，這是兩個同心的球面，它們沒有任何的公共點。
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