第二章：「解析幾何初步」教材分析與教學建議
房山區教師進修學校中學數學教研室張吉
一、內容與要求
（1）直線與方程
①在平面直角座標系中，結合具體圖形，探索確定直線位置的幾何要素。
②理解直線的傾斜角和斜率的概念，經歷用代數方法刻畫直線斜率的過程，掌握過兩點的直線斜率的計算公式。
③能根據斜率判定兩條直線平行或垂直。
④根據確定直線位置的幾何要素，探索並掌握直線方程的幾種形式（點斜式、兩點式及一般式），體會斜截式與一次函式的關係。
⑤能用解方程組的方法求兩直線的交點座標。
⑥探索並掌握兩點間的距離公式、點到直線的距離公式，會求兩條平行直線間的距離。
（2）圓與方程
①回顧確定圓的幾何要素，在平面直角座標系中，探索並掌握圓的標準方程與一般方程。
②能根據給定直線、圓的方程，判斷直線與圓、圓與圓的位置關係。
③能用直線和圓的方程解決一些簡單的問題。
（3）在平面解析幾何初步的學習過程中，體會用代數方法處理幾何問題的思想。
（4）空間直角座標系
①通過具體情境，感受建立空間直角座標系的必要性，了解空間直角座標系，會用空間直角座標系刻畫點的位置。
②通過表示特殊長方體（所有稜分別與座標軸平行）頂點的座標，探索並得出空間兩點間的距離公式。
二、高考說明要求
三、本章說明
本章主要是較系統地學習座標幾何的基本概念和方法。編寫的基本理念是，以直線上的座標幾何為基礎，一步步地把一維座標幾何推廣到二維和三維座標幾何。在講二維和三維座標幾何時，把二維轉化為一維，把三維轉化為二維來處理。
通過學習，讓學生體會用座標法研究幾何的優點。
解析幾何的思想方法，就是代數和幾何聯姻，用代數方法研究幾何，把對幾何圖形的研究代數化。這一章實質上就是代數在幾何中的應用。解決問題的基本思路都是：
在座標系中，設動點的座標，把圖形的特徵性質轉化為代數表示。設未知數列方程或方程組解幾何問題。
要注意到同學們的代數基礎，如果不太好，要在這一章，通過用代數方法解幾何問題，複習代數學的基本方法和技能。打好學生的代數基礎。
四、地位與作用
解析幾何是數學的乙個分支，是通過座標法，運用代數工具研究幾何問題的一門學科，它是數學的兩個基本物件——數與形的統一。通過數形結合，使座標方法成為乙個雙面的工具。一方面，幾何概念可用代數表示，幾何目標可通過代數方法達到；另一方面，又可給代數語言以幾何解釋。
使代數語言更直觀、更形象地表達出來。其中蘊涵了數形結合思想。
五、解析幾何內容的整體安排
必修二：平面解析幾何初步（約18課時）
必選1-1：圓錐曲線與方程（約12課時,文科選)
2-1: 圓錐曲線與方程（約16課時,理科選)
任選4-4：座標系與引數方程（理科選）
六、教學內容安排
本章教學是間約需18課時，具體分配如下，僅供參考：
七、解析幾何初步的教育價值：
1．解析幾何的本質: 是用代數方法研究圖形的幾何性質.它溝通了代數與幾何之間的聯絡，體現了數形結合的重要數學思想。
2．《課程標準》要求：要求學生在解析幾何初步的學習中，經歷將幾何問題代數化，處理代數問題，分析代數結果的幾何含義，解決幾何問題的過程。即,這部分內容的學習有助於學生認識數學內容之間的內在聯絡，體會數形結合思想，形成正確的數學觀；解析幾何的內容強調幾何，突出了用代數方法解決幾何問題的過程，同時也強調代數關係的幾何意義；對解析幾何內容採用的處理方式，主要是為了增進學生對幾何本質的理解，培養學生對幾何學習的興趣，克服幾何學習可能會造成學生兩極分化的弊端。
八、解析幾何的基本思想
1．幾何→代數
（1）將幾何問題代數化，用代數的語言描述幾何要素及其關係；
（2）將幾何問題轉化為代數問題；處理代數問題；分析代數結果的幾何含義；
（3）解決幾何問題。
2．代數→幾何：強調借助幾何直觀理解代數關係的意義，即對代數關係的幾何意義的解釋，個在這過程中，讓學生不斷地體會「數形結合」的思想方法。
九、本章重點、難點
1．重點：（1）直線的點斜式方程、一般式方程；（2）圓的標準方程和一般方程的兩種形式。
2．難點：（1）座標法的應用。
十、教材的編寫特色
充分體現解析幾何基本思想—— 通過建立座標系，將幾何問題代數化，進而用代數方法解決幾何問題。讓學生掌握一種學習與研究的方法。
1．特色之一：突出解析法基本思想—— 代數方法解決幾何問題
座標系重視「數形結合」思想的運用—— 以形助數、依數識形
2．特色之二:過程彰現新理念：在直線和圓的方程的處理上，以學生熟悉的問題（生活例項、數學問題等）為背景，按照 「問題情境——數學活動——意義建構——數學理論——數學應用——反思」的順序結構，引導學生主動參與探索，通過師生共同對問題的分析和解決，使學生感受建立座標系，並用座標、方程等知識來刻劃點、直線、圓等圖形的一般方法，逐步體會解析幾何的基本思想。
3．特色之三：《初步》 內容更顯豐富：兩條平行直線之間的距離；直線與圓的位置關係；圓與圓的位置關係。由幕後跳到前台，讓《初步》內容變得豐滿起來。
4．特色之四：將「圓與方程」與「直線與方程」進行模擬，感受同構（方法）的特點，體驗解析幾何的研究程式。
ｈ.伊夫斯：「解析幾何是數學家應用變換－－求解－－反演法的乙個最精彩、最深入、最富有成果的例子」，「解析幾何與其說是乙個幾何學分支，不如說是一種幾何方法」。
十一、教學建議
１.要讓學生感受到方程形式與曲線分類的關係－－解析幾何的價值之一；
２.要讓學生感受用解析法處理幾何問題的優越性：不在乎繁簡，而在於其方**的價值－－解析幾何的又一重要價值；
3．讓學生體驗解析幾何研究問題的方法和特點；
4．突出數形結合的數學思想：形的直觀數的一般數與形的對立統一； 不能「得意忘形」；
5．在知識與概念形成過程中，培養學生的合情推理能力、數學交流能力、探索能力和邏輯思維能力
十二、分節分析
2．1 平面直角座標系中的基本公式（2課時）
2．1．1 數軸上的基本公式（1課時）
1．教學目標
（1）能通過對數軸的複習，理解實數和數軸上的點的對應關係、實數與位移的對應關係；
（2）理解實數運算在婁數軸上的幾何意義；
（3）掌握數軸上兩點距離公式；
（4）掌握數軸上向量加法的座標運算。
2．內容分析
3．本節重點、難點
4．教學建議
（1）這一小節，在教學上往往被忽視。但一維座標幾何是二維、三維座標幾何的基礎。教師一定要下些功夫，讓學生牢固掌握。
（2）首先複習數軸，建立數軸上的點與實數的一一對應關係。然後引入位移向量的概念，建立直線上的向量與實數的一一對應。以往在平面解析幾何中，不引入向量的概念，由有向線段代替。
對有向線段，也沒有引入運算的概念，這樣數軸上的基本計算公式，證明起來比較麻煩。現在高中數學中已引入平面向量知識，如果在數軸上引入向量及其加減運算，學生會更好地理解座標幾何基本公式的推導。也為今後進一步的學習座標幾何打下堅實的基礎。
（3）在初中，學習正負數時，就用正負數表示位移的大小和方向，並用位移的合成學習正負數的加法。這裡把直線上相等的位移定義為乙個向量，並與實數建立一一對應關係，學生理解起來應該不會有困難。建議教學時，進行探索。
建立起實數與直線上的位移向量間的一一對應關係，使數與形更準確地結合起來。
（4）數軸上的向量的加法運算及用向量表示點的位置，是整個解析幾何的基礎。教學時，一定要給予足夠的重視。一定要讓學生徹底地理解，熟練地掌握。
教材仍採用傳統的習慣，把加法運算表示為公式： ab+bc=ac，由此匯出解析幾何中兩個最基本的公式： ab=x2-x1，d(a，b)=|x2 – x1|。
對這兩個公式，一定要多做練習，讓學生熟練掌握。在這兩個公式的基礎上，最好引導學生匯出中點公式。
（5）本節的練習a，b要求大多數學生都能熟練地做出。不僅是要求學生記住上述兩個公式，而且要求學生完全理解它的幾何意義和代數意義，為數形結合打下牢固的基礎。練習中出現的不等式， 要求學生完全由不等式表示的幾何意義求解。
這裡不需要補充代數解法。
5．例題分析
2．1．2 平面直角座標系中的基本公式
1．教學目標
（1）掌握直角座標系中兩點的距離公式與線段中點的座標公式；
（2）推導直角座標系中兩點的距離公式與線段中點的座標公式。
2．內容分析
（1）直角座標系中兩點的距離公式；
（2）直角座標系中線段中點的座標公式。
3．本節重點、難點
（1）重點：利用勾股定理與數軸上位移數量的計算公式推導平面上兩點的距離公式。
（2）難點：應用座標法研討幾何問題。
4．教法分析
（1）首先把數軸上的基本公式距離公式和中點公式，推廣到平面直角座標系，把二維的事物轉化為一維來處理。等學完平面向量後，可作為練習，讓學生用向量方法重新證明這些基本公式和幾何問題。這樣做是不是更符合學生的認識規律？
（2）關於距離公式有兩點提醒老師注意：
第一，應向學生指出，距離公式是勾股定理的座標形式，通過兩點的座標分量來計算兩點間的距離；
第二，貫徹演算法思想（機械化計算）。這一點，大家一定要注意：按步驟計算（一點都馬虎不得），是學好數學的基本功。
（3）中點公式：應向學生指出，中點公式是中心對稱的座標表示。應多做練習，讓學生掌握中點公式的應用。
（4）這一節的習題後用探索與研究的方式安排了乙個系列習題。通過直線上的距離公式，求解含絕對值符號的方程。只要學生理解了距離公式的幾何意義，學生應能解出。
而且，這能進一步幫助學生更好地理解距離公式的意義。不妨在學習橢圓方程和雙曲線方程時重溫此題。如果點在座標平面上，讓學生寫出點的軌跡方程。
2．2 直線的方程（6課時）
2．2．1．直線方程的概念與直線的斜率（1課時）
1．教學目標
（1）理解直線的傾斜角的定義，知道直線的傾斜角的範圍。
第二章解析幾何初步 A
時間 120分鐘滿分 150分 一 選擇題 本大題共12小題，每小題5分，共60分 1 下列敘述中不正確的是 a 若直線的斜率存在，則必有傾斜角與之對應 b 每一條直線都有唯一對應的傾斜角 c 與座標軸垂直的直線的傾斜角為0 或90 d 若直線的傾斜角為 則直線的斜率為tan 2 如果直線ax 2y...
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