第14課時章末小結
問題1 直線與平面的夾角
例1. 如圖1，在正三稜柱abc-a1b1c1中，ab=aa1=2，點d是cc1的中點，求aa1與平面ab1d所成的角的大小.
解:如圖1建立直角座標系，則
，設平面ab1d的法向量，
由，得 ①
由，得 ②
令y=1，由①、②聯立解得
∴故aa1與平面ab1d所成的角為450.
即時突破1. 如圖，已知正四稜柱abcd—a1b1c1d1中，底面邊長ab=2，側稜bb1的長為4，過點b作b1c的垂線交側稜cc1於點e，交b1c於點f求a1b與平面bde所成的角的正弦值.
筆記：即時突破2. 在60°的二面角的稜上，有a、b兩點，線段ac、bd分別在二面角的兩個麵內，且都垂直於ab，已知ab=4，ac=6，bd=8.
⑴求cd的長度；⑵求cd與平面所成的角
筆記：問題2 平面間的夾角
例2. 如圖，在三稜錐p-abc中，ac=bc=2，∠acb=90°，ap=bp=ab，pc⊥ac.
（ⅰ）求證：pc⊥ab；（ⅱ）求二面角b-ap-c的大小.
（ⅰ）∵ac=bc,ap=bp,∴△apc≌△bpc.
又pc⊥ac.∴pc⊥bc.∵ac∩bc=c,
∴pc⊥平面abc.∵ab平面abc，
∴pc⊥ab.
(ⅱ)以c為原點建立空間直角座標系c-xyz
.則c（0，0，0），a（0，2，0），b（2，0，0）.
設p（0，0，t）,∵｜pb｜=｜ab｜＝2，
∴t=2,p(0,0,2).取ap中點e，鏈結be，ce.
∵｜ac｜=｜pc｜,｜ab｜=｜bp｜,∴ce⊥ap,be⊥ap.
∴∠bec是二面角b-ap-c的平面角.∵e(0,1,1),
∴cos∠bec=∴二面角b-ap-c的大小為arccos
筆記:點睛：如果與直線l共線的非零向量與平面的法向量所成的角為，那麼直線l與平面所成的角則為|900-|.
若00≤<900，則直線l與平面所成的角為900-；若900≤≤1800，則直線l與平面所成的角為-900.這是因為直線與平面所成的角的範圍是[0，900].
點睛：如果二面角-l -中、的法向量所成的角為，那麼二面角-l -的大小則為或1800-.（取還是1800-，要視問題中的二面角是「鈍角」，還是「銳角」而定）
即時突破4. 如圖所示，四稜錐p-abcd的底面abcd是邊長為1的菱形，∠bcd＝60°，
e是cd的中點，pa⊥底面abcd，pa＝2. 求平面pad和平面pbe所成二面角（銳角）的大小.
筆記：問題3 距離的計算
例2如圖3，在稜長為4的正方體abcd—a1b1c1d1中，e、f分別是a1b1和b1c1的中點。
（1） 求點d到be的距離；
（2） 求點d到面bef的距離；
解：（1）以點a為原點建立如圖3所示的空間直角座標系，因e、f分別是a1b1和b1c1的中點，所以b（4，0，0），e（2，0，4），d（0，4，0），則=（-2，0，4），=（-4，4，0）
在方向上的射影為=
點d到be的距離為 d=
(2)設=（x,y,1）為平面bef的法向量，則， ， =（0，2，4），
=-2x+4=0, =2y+4=0x=2, y=-2=(2,-2,1)
向量在方向上的射影為點d到面bef的距離為.
即時突破5. 如圖，在四稜錐中，底面四邊長為1的菱形，, , ,為的中點，
為的中點（ⅰ）求異面直線ab與md所成角的大小；
（ⅱ）求點b到平面ocd的距離。
筆記：即時突破6. 如圖4，直三稜柱abc—a1b1c1中，底面是等腰直角三角形，∠acb=90°，側稜aa1=2，
d、e分別是cc1與a1b的中點，點e在平面abd上的射影是△abd的重心g.
（ⅰ）求a1b與平面abd所成角的大小（結果用反三角函式值表示）；
第二章立體幾何小結
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空間向量與立體幾何
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