一、 平行與垂直問題
（一） 平行
線線平行
線面平行
面面平行
注意：這裡的線線平行包括線線重合，線面平行包括直線在平面內，面面平行包括面面重合。
（二） 垂直
線線垂直
線面垂直
面面垂直
注意：畫出圖形理解結論
二、 夾角與距離問題
（一） 夾角
（二）距離
點、直線、平面之間的距離有7種。點到平面的距離是重點.
1．已知四稜錐的底面為直角梯形，，底面，且，，是的中點。
（ⅰ）證明：面面；
（ⅱ）求與所成的角；
（ⅲ）求面與面所成二面角的大小。
2．如圖，在四稜錐中，底面是正方形，側面是正三角形,平面底面．
（ⅰ）證明：平面；
（ⅱ）求面與面所成的二面角的大小．
證明：以為座標原點，建立如圖所示的座標圖系.
3．如圖，在四稜錐中，底面為矩形，
側稜底面，，，，
為的中點.
（ⅰ）求直線與所成角的余弦值；
（ⅱ）在側面內找一點，使麵，
並求出點到和的距離.
4．如圖所示的多面體是由底面為的長方體被截面所截面而得到的，其中. （ⅰ）求的長；
（ⅱ）求點到平面的距離.
5．如圖，在長方體，中，，點在稜上移動.（1）證明：；
（2）當為的中點時，求點到面的距離；
（3）等於何值時，二面角的大小為.
6．如圖，在三稜柱中，側面，為稜上異於的一點，，已知，求：
（ⅰ）異面直線與的距離；
（ⅱ）二面角的平面角的正切值.
7．如圖，在四稜錐中，底面為矩形，底面，是上一點，. 已知
求（ⅰ）異面直線與的距離；
（ⅱ）二面角的大小.
8.如圖，四稜錐中，底面abcd為矩形，底面abcd，ad=pd，e，f分別cd、pb的中點。
（ⅰ）求證：ef平面pab；
（ⅱ）設ab=bc，求ac與平面aef所成角的大小。
答案：1、證明：以為座標原點長為單位長度，如圖建立空間直角座標系，則各點座標為
.（ⅰ）證明：因
由題設知，且與是平面內的兩條相交直線，由此得面.又在面上，故面⊥面.
（ⅱ）解：因
（ⅲ）解：在上取一點，則存在使要使為
所求二面角的平面角.
2、（ⅰ）證明：不防設作，
則，，由得，又，因而與平面內兩條相交直線，都垂直. ∴平面.
（ⅱ）解：設為中點，則，
由因此，是所求二面角的平面角，
解得所求二面角的大小為
3、解：（ⅰ）建立如圖所示的空間直角座標系，則的座標為、
、、、、，
從而設的夾角為，則
∴與所成角的余弦值為.
（ⅱ）由於點在側面內，故可設點座標為，則
，由麵可得，
∴即點的座標為，從而點到和的距離分別為.
4、解：（i）建立如圖所示的空間直角座標系，則，設.∵為平行四邊形，
（ii）設為平面的法向量，
的夾角為，則
∴到平面的距離為
5、解：以為座標原點，直線分別為軸，建立空間直角座標系，設，則（1）（2）因為為的中點，則，從而，
，設平面的法向量為，則
也即，得，從而，所以點到平面的距離為
（3）設平面的法向量，∴
由令，∴
依題意∴（不合，捨去），.
∴時，二面角的大小為.
6、解：（i）以為原點，、分別為軸建立空間直角座標系.
由於，在三稜柱中有,設
又側面，故. 因此是異面直線的公垂線，
則，故異面直線的距離為.
（ii）由已知有故二面角的平面角的大小為向量的夾角.
7、解：（ⅰ）以為原點，、、分別為
軸建立空間直角座標系.
由已知可得
設 由，
即由，又，故是異面直線與的公垂線，易得，故異面直線,的距離為.
（ⅱ）作，可設.由得
即作於，設，則由，
又由在上得
因故的平面角的大小為向量的夾角.
故即二面角的大小為
8、以d為座標原點，da的長為單位，建立如圖所示的直角座標系，（1）證明：
設，其中，則，，又，
（2）解：由得，可得，
則異面直線ac，pb所成的角為，
，又，af為平面aef內兩條相交直線，
，ac與平面aef所成的角為，
即ac與平面aef所成的角為
9、（ⅰ），，．又，
．，平面．平面，
．（ⅱ）如圖，以為原點建立空間直角座標系．則．設．，，．
取中點，鏈結．
，，，．
是二面角的平面角．
，，，．
二面角的大小為．
（ⅲ），
在平面內的射影為正的中心，且的長為點到平面的距離．如（ⅱ）建立空間直角座標系．
，點的座標為．
．點到平面的距離為．
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