§3.2 立體幾何中的向量方法(三)
——空間向量與空間角
課時目標 1.利用向量方法解決線線、線面、麵麵所成角的計算問題.2.會用向量方法求兩點間的距離，點到平面的距離.3.體會空間向量解決立體幾何問題的三步曲．
1．空間中的角
2.空間的距離
一、選擇題
1．若直線l1的方向向量與直線l2的方向向量的夾角是150°，則l1與l2這兩條異面直線所成的角等於( )
a．30b．150°
c．30°或150d．以上均錯
2．若直線l的方向向量與平面α的法向量的夾角等於150°，則直線l與平面α所成的角等於( )
a．30b．60°
c．150d．以上均錯
3．如圖所示，在正方體abcd—a1b1c1d1中，m，n，p分別是稜cc1，bc，a1b1上的點，若∠b1mn＝90°，則∠pmn的大小是( )
a．等於90b．小於90°
c．大於90d．不確定
4．在稜長為1的正方體abcd—a1b1c1d1中，m，n分別為a1b1和bb1的中點，那麼異面直線am與cn所成角的余弦值為( )
abcd.
5.若o為座標原點，＝(1,1，－2)，＝(3,2,8)，＝(0,1,0)，則線段ab的中點p到點c的距離為( )
ab．2
cd.6．在直角座標系中，設a(－2,3)，b(3，－2)，沿x軸把直角座標平面折成120°的二面角後，則a、b兩點間的距離為( )
a．2b.
cd．3
二、填空題
7．若兩個平面α，β的法向量分別是n＝(1,0,1)，ν＝(－1，1,0)．則這兩個平面所成的銳二面角的度數是________．
8．如圖，
已知正三稜柱abc—a1b1c1的各條稜長都相等，m是側稜cc1的中點，則異面直線ab1和bm所成的角的大小是________．
9．已知a(2,3,1)，b(4,1,2)，c(6,3,7)，d(－5，－4,8)，則點d到平面abc的距離為______．
三、解答題
10.如圖所示，已知直角梯形abcd，其中ab＝bc＝2ad，as⊥平面abcd，ad∥bc，ab⊥bc，且as＝ab.求直線sc與底面abcd的夾角θ的余弦值．
11．已知正方形abcd的邊長為4，e、f分別是ab、ad的中點，gc⊥平面abcd，且gc＝2，求點b到平面efg的距離．
能力提公升
12．在正方體abcd—a1b1c1d1中，e為bb1的中點，則平面a1ed與平面abcd所成的銳二面角的余弦值為( )
abcd.
13．已知三稜錐p－abc中，pa⊥平面abc，ab⊥ac，pa＝ac＝ab，n為ab上一點，且ab＝4an，m，s分別為pb，bc的中點．
(1)證明：cm⊥sn；
(2)求sn與平面cmn所成角的大小．
1．空間兩條異面直線所成的角，可轉化為求兩條直線的方向向量的夾角或夾角的補角．
2．直線與平面所成的角，二面角主要利用平面的法向量解決；要注意向量的方向和所求角的範圍．
3．空間兩點間的距離可直接利用距離公式，點到平面的距離轉化為向量的投影問題．
§3.2 立體幾何中的向量方法(三)
——空間向量與角、距離
知識梳理
1.作業設計
1．a3．a [∵a1b1⊥平面bcc1b1，∴a1b1⊥mn，
∵·＝(＋)·
＝·＋·＝0，
∴mp⊥mn，即∠pmn＝90°.]
4．d [如圖所示，建立空間直角座標系，則a(1,0,0)，
m，c(0,1,0)，
n.∴＝，＝.
∴cos〈，〉＝＝.]
5．d [由題意＝(＋)＝(2，，3)，
＝－＝(－2，－，－3)，
pc=||＝＝.]
6．a [作ae⊥x軸交x軸於點e，bf⊥x軸交x軸於點f，則
＝＋＋，
2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·
＝2＋2＋2＋2·
＝9＋25＋4＋2×3×2×＝44，
∴||＝2.]
7．60°
解析 ∵cos〈n，ν〉＝＝－，
∴〈n，ν〉＝120°.故兩平面所成的銳二面角為60°.
8．90°
解析建立如圖所示的座標系，設正三稜柱的稜長為1，則b，
m，b1，
因此＝，
＝，設異面直線ab1與bm所成的角為θ，
則cos θ＝|cos〈，〉|＝＝0，∴θ＝90°.
9. 解析設平面abc的法向量為n＝(x，y，z)，
∴可取n＝，又＝(－7，－7,7)．
∴點d到平面abc的距離d＝＝.
10.解由題設條件知，可建立以ad為x軸，ab為y軸，as為z軸的空間直角座標系(如圖所示)．
設ab＝1，則a(0,0,0)，b(0,1,0)，c(1,1,0)，d，s(0,0,1)．
∴＝(0,0,1)，＝(－1，－1,1)．
顯然是底面的法向量，它與已知向量的夾角β＝90°－θ，
故有sin θ＝|cos β|＝＝＝，
於是cos θ＝＝.
11．解
如圖所示，以c為原點，cb、cd、cg所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角座標系cxyz.
由題意知c(0,0,0)，a(4,4,0)，b(4,0,0)，d(0,4,0)，e(4,2,0)，f(2,4,0)，
g(0,0,2)．
＝(0,2,0)，＝(4,2，－2)，＝(－2,2,0)．
設平面gef的法向量為n＝(x，y，z)，
則有即令x＝1，則y＝1，z＝3，∴n＝(1,1,3)．
點b到平面efg的距離為
12．b [
建系如圖，設正方體的稜長為1，則d(0,0,0)，
a1(1,0,1)，e，
∴＝(1,0,1)，
＝.設平面a1ed的乙個法向量為n＝(x，y，z)，
則n·＝0，且n·＝0，
即令x＝1，得y＝－，z＝－1，
∴n＝.
又平面abcd的乙個法向量為＝(0,0,1)，
∴cos〈n，〉＝＝－.
∴平面a1ed與平面abcd所成的銳二面角的余弦值為.]
13.(1)證明設pa＝1，以a為原點，ab，ac，ap所在直線分別為x，y，z軸正向建立空間直角座標系如圖所示，
則p(0,0,1)，c(0,1,0)，b(2,0,0)，m(1,0，)，
n(，0,0)，s(1，，0)．
所以＝(1，－1，)，＝(－，－，0)．
因為 ＝－＋＋0＝0，所以cm⊥sn.
（2）解 ＝(－，1,0)，
設a=(x,y,z)為平面cmn的乙個法向量，則
即令x＝2，得a＝(2,1，－2)．
因為|cos〈a，〉|＝，
所以sn與平面cmn所成的角為45°.
3 2立體幾何中的向量方法空間距離
3.2立體幾何中的向量方法 空間距離 利用向量方法求解空間距離問題，可以迴避此類問題中大量的作圖 證明等步驟，而轉化為向量間的計算問題 例 如圖，已知正方形abcd的邊長為4，e f分別是ab ad的中點，gc 平面abcd，且gc 2，求點b到平面efg的距離 分析 由題設可知cg cb cd兩兩...
3 2立體幾何中的向量方法 5
3.2立體幾何中的向量方法 5 課題 空間的角的計算 2 教學目標 能用向量方法解決二面角的計算問題 教學重點 二面角的計算 教學難點 二面角的計算 教學過程 一 創設情景 1 二面角的定義及求解方法 2 平面的法向量的定義 二 新課講授 利用向量求二面角的大小。方法一 轉化為分別是在二面角的兩個半...
立體幾何中的向量方法
空間向量的數乘運算 了解共線或平行向量的概念，掌握表示方法 理解共線向量定理及其推論 掌握空間直線的向量引數方程 會運用上述知識解決立體幾何中有關的簡單問題 教學重點 空間直線 平面的向量引數方程及線段中點的向量公式 教學過程 一複習引入 1.回顧平面向量向量知識 平行向量或共線向量？怎樣判定向量與...