3.2立體幾何中的向量方法-----空間距離
利用向量方法求解空間距離問題，可以迴避此類問題中大量的作圖、證明等步驟，而轉化為向量間的計算問題．
例１如圖，已知正方形abcd的邊長為4，e、f分別是ab、ad的中點，gc⊥平面abcd，且gc＝2，求點b到平面efg的距離．
分析：由題設可知cg、cb、cd兩兩互相垂直，可以由此建立空間直角座標系．用向量法求解，就是求出過b且垂直於平面efg的向量，它的長即為點b到平面efg的距離．
解：如圖，設4i， 4j， 2k，以i、j、k為座標向量建立空間直角座標系c－xyz．
由題設c(0,0,0)，a(4,4,0)，b(0,4,0)，d(4,0,0)，e(2,4,0)，f(4,2,0)，g(0,0,2)．
∴ ，，
，，．設平面efg，m為垂足，則m、g、e、f四點共面，由共面向量定理知，存在實數a、b、c，使得，
∴ ＝(2a+4b,－2b－4c,2c)．
由平面efg，得，，於是
，．∴ 整理得：，解得．
∴＝(2a+4b,－2b－4c,2c)＝．
∴故點b到平面efg的距離為．
說明：用向量法求點到平面的距離，常常不必作出垂線段，只需利用垂足在平面內、共面向量定理、兩個向量垂直的充要條件解出垂線段對應的向量就可以了．
例2已知正方體abcd－的稜長為1，求直線與ac的距離．
分析：設異面直線、ac的公垂線是直線l，則線段在直線l上的射影就是兩異面直線的公垂線段，所以此題可以利用向量的數量積的幾何意義求解．
解：如圖，設i， j， k，以i、j、k為座標向量建立空間直角座標系－xyz，則有
，，，．
∴ ，，．
設n是直線l方向上的單位向量，則．
∵ n，n
∴ ，解得或．
取n，則向量在直線l上的投影為
n··．
由兩個向量的數量積的幾何意義知，直線與ac的距離為．
立體幾何中的向量方法 求空間距離
立體幾何中的向量方法 距離問題 一 求點到平面的距離 1 一般 傳統方法 利用定義先作出過這個點到平面的垂線段，再計算這個垂線段的長度 2 還可以用等積法求距離 3 向量法求點到平面的距離.在中，又 其中為斜向量，為法向量 二 直線到平面的距離 轉化為點到線的距離 其中為斜向量，為法向量 三 平面到...
3 2立體幾何中的向量方法 三空間向量與空間角
3.2 立體幾何中的向量方法 三 空間向量與空間角 課時目標 1.利用向量方法解決線線 線面 麵麵所成角的計算問題.2.會用向量方法求兩點間的距離，點到平面的距離.3.體會空間向量解決立體幾何問題的三步曲 1 空間中的角 2.空間的距離 一 選擇題 1 若直線l1的方向向量與直線l2的方向向量的夾角...
3 2立體幾何中的向量方法 5
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