高中新課標選修（2-1）立體幾何中的向量方法測試題
一、選擇題
1．長方體中，，，點分別是的中點，則異面直線與所成的角是（ ）
答案：ｄ
2．如圖1，在斜三稜柱中，，，
則在面上的射影必在（ ）
ａ．直線上直線上
ｃ．直線上內部
答案：ａ
3．若三稜錐的三條側稜兩兩垂直，且滿足，則到平面的距離為（ ）
答案：ｂ
4．平面與平面相交成乙個銳二面角，上乙個圓在上的正射影是乙個離心率為的橢圓，則（ ）
答案：ａ
5．如圖2，以等腰直角三角形斜邊上的高為摺痕，把和折成互相垂直的兩個平面後，某學生得出下列四個結論：
①；②③三稜錐是正三稜錐；
④平面的法向量和平面的法向量互相垂直．
其中正確的是（ ）
答案：ｂ
6．如圖3，建築工地有一用細砂堆成的多面體，其上、下兩個底面平行且都是矩形，上底面矩形的兩邊分別為6m與3m，下底面矩形的長邊為10m，若此多面體的四個側面與底面所成的二面角都相等，則其下底面的短邊長為（ ）
ａ．7m6m
ｃ．5m4m
答案：ａ
二、填空題
7．為空間的兩個不同的點，且，空間中適合條件的點的軌跡是
．答案：過點且垂直於的平面
8．在正四面體中，為的重心，為的重心，為上的一點，為的中點，若，則實數的值為 ．
答案：9．平行六面體中，，，則 ．
答案：10．已知平面和平面交於直線，是空間一點，，垂足為，，垂足為，且，若點在內的射影為在內的射影重合，則點到的距離為 ．
答案：11．設是直線是平面，，向量在上，向量在上，，則所成二面角中較小的乙個的大小為 ．
答案：12．給出下列命題：
①過直線上一點可以作無數個向量與這條直線垂直，並且這些向量都在同乙個平面內；
②四點共面；
③設，則「」是「，且為單位向量」的充要條件；
④若二面角為，直線，則平面內的直線與所成角的取值範圍是．
其中正確命題的序號是 ．
答案：①②④
三、解答題
13．在直三稜柱中，，，分別是的中點，是上的點．
（1）如果，試確定點的位置；
（2）在滿足條件（1）的情況下，若與的夾角為，試求的值．
解：（1）建立如圖所示的座標系，設，
則，設，
．，，即．
，點為的中點．
（2）由（1），得，，
又，，，
．14．如圖4，直二面角中，四邊形是邊長為2的正方形，，為上的點，且平面．
（1）求證：平面；
（2）求二面角的大小；
（3）求點到平面的距離．
解：（1）平面，．
二面角為直二面角，且，
平面．．
平面．（2）以線段的中點為原點，所在直線為軸，
所在直線為軸，過作平行於的直線為軸，
建立空間直線座標系．
易知，設，．．
設平面的乙個法向量為，
則即令，得是平面的乙個法向量．
又平面的乙個法向量為，
．二面角的大小為．
（3）軸，，．
點到平面的距離．
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