1．若點a(－1,0,1)，b(1,4,7)在直線l上，則l的乙個單位方向向量為
答案： (1,2,3)
2．已知平面α內兩向量a＝(2,3,1)，b＝(5,6,4)，則平面α的乙個法向量是
解析：設平面α的法向量n＝(x，y，z)，則
由n·a＝0，得2x＋3y＋z＝0.①
由n·b＝0，得5x＋6y＋4z＝0.②
解得令z＝1，得
∴平面α的乙個法向量是(－2,1,1)．
答案：(－2,1,1)
3．已知a，b分別是直線l1，l2的方向向量，則下列所給的向量中，l1∥l2的一組是填序號)．
(1)a＝(2,3，－1)，b＝(－6，－9,3)；(2)a＝(5,0,2)，b＝(0,4,0)；(3)a＝(－2,1,4)，b＝(6,3,3)．
解析：(1)中a＝(2,3，－1)，b＝(－6，－9,3)，∴a＝－b.
(2)中a＝(5,0,2)，b＝(0,4,0)，a·b＝0.
(3)中a，b既不共線，數量積也不為0.
答案：(4)
4．若n＝(2，－3,1)是平面α的乙個法向量，下列所給向量中，能作為平面α的法向量的是
(1)(0，－3,1)；(2)(2,0,1)；(3)(－2，－3,1)；(4)(－2,3，－1)．
解析：所有與n＝(2，－3,1)共線的向量都是平面α的法向量，只有(4)的向量與n＝(2，－3,1)共線．
答案：(4)
一、填空題
1．已知直線l過點a(1,2,3)，b(2,5,8)，且a＝(－2，m，n)是直線l的方向向量，則m＋n
解析：＝(1,3,5)，由題意知，a∥.∴＝＝.∴m＝－6，n＝－10.∴m＋n＝－16.
答案：－16
2．已知平面α經過點p(1,1,1)，平面α的法向量n＝(1,2,3)，m是平面α內的任一點．則m點的座標(x，y，z)滿足的關係式為
解析：＝(x－1，y－1，z－1)，
∵n＝(1,2,3)是平面α的乙個法向量，
∴n⊥.從而n·＝0，
即(1,2,3)·(x－1，y－1，z－1)＝0.
整理，得x＋2y＋3z－6＝0.
答案：x＋2y＋3z－6＝0
3．平面α的乙個法向量為(1,2,0)，平面β的乙個法向量為(2，－1,0)，則平面α和平面β的位置關係是
解析：平面α與平面β的法向量的數量積為(1,2,0)·(2，－1,0)＝2－2＋0＝0，所以兩個法向量垂直，故兩個平面互相垂直．
答案：垂直
4.如圖，已知△adb和△adc都是以d為直角頂點的直角三角形，且ad＝bd＝cd，∠bac＝60°，e為ac的中點，那麼以下向量為平面acd的法向量的為
① ② ③ ④
解析：判斷平面acd的法向量，可以從平面acd中找出、、中的兩個向量，分別與選項中的向量求數量積，判斷垂直而得；也可以直接利用已知邊角關係判斷線面垂直．設ad＝1，則bd＝cd＝1，因為△bda、△acd為直角三角形，所以ab＝ac＝.又因為∠bac＝60°，所以bc＝.
所以△bcd也是直角三角形(bd⊥cd)，從而可得bd⊥平面acd.
答案：②
5．若直線a和b是異面直線，它們的方向向量分別是(1,1,1)和(2，－3，－2)，則直線a和b的公垂線的乙個方向向量是
解析：設公垂線的乙個方向向量是(x，y，z)，則有(x，y，z)·(1,1,1)＝0且(x，y，z)·(2，－3，－2)＝0，即
令x＝1，得y＝4，z＝－5.
答案：(1,4，－5)(答案不惟一)
6．已知直線l1的方向向量為a＝(2,4，x)，直線l2的方向向量為b＝(2，y,2)，若|a|＝6，且a⊥b，則x＋y的值是________．
解析：因為|a|＝6，所以4＋16＋x2＝36，即x＝±4，當x＝4時，a＝(2,4,4)，由a·b＝0得4＋4y＋8＝0，解得y＝－3，此時x＋y＝4－3＝1；當x＝－4時，a＝(2,4，－4)，由a·b＝0得4＋4y－8＝0，解得y＝1，此時x＋y＝－4＋1＝－3.綜上，得x＋y＝－3或1.
答案：－3或1
7．已知＝(2,2,1)，＝(4,5,3)，則平面abc的乙個單位法向量是________．
答案：(，－，)
8．已知三點a(1,1,0)，b(1,0,1)，c(0,1,1)，則平面abc的單位法向量為________．
解析：設平面abc的單位法向量為n＝(x，y，z)，由已知得＝(0，－1,1)，＝(－1,1,0)，＝(1,0，－1)，因為n與，，都垂直，所以z－y＝0，y－x＝0，x－z＝0，所以x＝y＝z，又因為|n|＝1，所以＝1，解得n＝(，，)或n＝(－，－，－)．
答案：(，，)或(－，－，－)
二、解答題
9．在正方體abcd－a1b1c1d1中，p是dd1的中點，o為底面abcd的中心，求證：是平面pac的法向量．
證明：如圖，建立空間直角座標系，
不妨設正方體的稜長為2，
則a(2,0,0)，p(0,0,1)，c(0,2,0)，b1(2,2,2)，o(1,1,0)，於是＝(1,1,2)，＝(－2,2,0)，＝(－2,0,1)．
由於·＝－2＋2＝0及·＝－2＋2＝0，
∴⊥，⊥.
∵ac∩ap＝a，∴⊥平面pac，
即是平面pac的法向量．
10．已知a(2,2,2)，b(2,0,0)，c(0,2，－2)．
(1)寫出直線bc的乙個方向向量；
(2)設平面α經過點a，且bc是α的法向量，m(x，y，z)是平面α內的任意一點，試寫出x，y，z滿足的關係式．
解：(1)∵b(2,0,0)，c(0,2，－2)，
∴＝(－2,2，－2)，
即(－2,2，－2)為直線bc的乙個方向向量．
(2)由題意＝(x－2，y－2，z－2)，
∵⊥平面α，amα，
∴⊥.∴(－2,2，－2)·(x－2，y－2，z－2)＝0.
∴－2(x－2)＋2(y－2)－2(z－2)＝0.
化簡得x－y＋z－2＝0.
11.如圖，在長方體abcd－a1b1c1d1中，ad＝aa1＝1，ab＝2，點e為ab的中點，求平面cd1e的乙個法向量．
解：如圖，建立空間直角座標系，則a(1,0,0)，b(1,2,0)，c(0,2,0)，d1(0,0,1)．
∴e(1,1,0)．
∴＝(1，－1,0)，
＝(0，－2,1)．
設平面cd1e的法向量為n＝(x，y，z)，
則n·＝0，n·＝0.
∴∴令y＝1，則x＝1，z＝2.
∴平面cd1e的乙個法向量為(1,1,2)．
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