【2023年高考會這樣考】
考查用向量方法求異面直線所成的角，直線與平面所成的角、二面角的大小．
【複習指導】
複習中要掌握空間角的型別及各自的範圍，掌握求空間角的向量方法，特別注意兩平面法向量的夾角與二面角的關係．
基礎梳理
1．空間的角
(1)異面直線所成的角
如圖，已知兩條異面直線a、b，經過空間任一點o作直線a′∥a，b′∥b.則把a′與b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)．
(2)平面的一條斜線和它在平面內的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角．
①直線垂直於平面，則它們所成的角是直角；②直線和平面平行，或在平面內，則它們所成的角是0°的角．
(3)二面角的平面角
如圖在二面角αlβ的稜上任取一點o，以點o為垂足，在半平面α和β內分別作垂直於稜l的射線oa和ob，則∠aob叫做二面角的平面角．
2．空間向量與空間角的關係
(1)設異面直線l1，l2的方向向量分別為m1，m2，則l1與l2的夾角θ滿足cos θ＝|cos〈m1，m2〉|.
(2)設直線l的方向向量和平面α的法向量分別為m，n，則直線l與平面α的夾角θ滿足sin θ＝|cos〈m，n〉|.
(3)求二面角的大小
(ⅰ)如圖①，ab、cd是二面角αlβ的兩個麵內與稜l垂直的直線，則二面角的大小θ＝〈，〉．
(ⅱ)如圖②③，n1，n2分別是二面角αlβ的兩個半平面α，β的法向量，則二面角的大小θ滿足cos θ＝cos〈n1，n2〉或－cos〈n1，n2〉．
三種成角
(1)異面直線所成的角的範圍是；
(2)直線與平面所成角的範圍是；
(3)二面角的範圍是[0，π]．
易誤警示
利用平面的法向量求二面角的大小時，當求出兩半平面α、β的法向量n1，n2時，要根據向量座標在圖形中觀察法向量的方向，從而確定二面角與向量n1，n2的夾角是相等，還是互補，這是利用向量求二面角的難點、易錯點．
雙基自測
1．如果平面的一條斜線與它在這個平面上的射影的方向向量分別是a＝(1,0,1)，b＝(0,1,1)，那麼，這條斜線與平面所成的角是( )．
a．90° b．30° c．45° d．60°
解析 ∵cos〈a，b〉＝＝，
又∵〈a，b〉∈[0，π]，∴〈a，b〉＝60°.
答案 d
2．(人教a版教材習題改編)已知兩平面的法向量分別為m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，則兩平面所成的二面角的大小為( )．
a．45° b．135°
c．45°或135° d．90°
解析 cos〈m，n〉＝＝＝，
即〈m，n〉＝45°，其補角為135°，
∴兩平面所成的二面角為45°或135°.
答案 c
3．(2011·德州月考)已知向量m，n分別是直線l和平面α的方向向量、法向量，若cos〈m，n〉＝－，則l與α所成的角為( )．
a．30° b．60° c．120° d．150°
解析設l與α所成的角為θ，
則sin θ＝|cos〈m，n〉|＝，∴θ＝30°.
答案 a
4．在如圖所示的正方體a1b1c1d1abcd中，e是c1d1的中點，則異面直線de與ac夾角的余弦值為( )．
a．－ b．－
c. d.
解析如圖建立直角座標系dxyz，設da＝1，a(1,0,0)，c(0,1,0)，e.則＝(－1,1,0)，＝，若異面直線de與ac所成的角為θ，
cos θ＝|cos〈，〉|＝.
答案 d
5．如圖所示，在三稜柱abca1b1c1中，aa1⊥底面abc，ab＝bc＝aa1，∠abc＝90°，點e、f分別是稜ab、bb1的中點，則直線ef和bc1所成的角是________．
解析建立如圖所示的空間直角座標系．
設ab＝bc＝aa1＝2，
則c1(2,0,2)，e(0,1,0)，f(0,0,1)
則＝(0，－1,1)，＝(2,0,2)，
∴·＝2，
∴cos〈，〉＝＝，
∴ef和bc1所成角為60°.
答案 60°
考向一求異面直線所成的角
【例1】(2011·上海高考改編)已知abcda1b1c1d1是底面邊長為1的正四稜柱，高aa1＝2，求
(1)異面直線bd與ab1所成角的余弦值；
(2)四面體ab1d1c的體積．
[審題視點] 建立恰當的空間直角座標系，用向量法求解，注意角的範圍．
解 (1)如圖建立空間直角座標系a1xyz，由已知條件：
b(1,0,2)，d(0,1,2)，
a(0,0,2)，b1(1,0,0)．
則＝(－1,1,0)，
＝(1,0，－2)
設異面直線bd與ab1所成角為θ，
cos θ＝|cos〈，〉|＝.
(2)vab1d1c＝vabcda1b1c1d1－4vcb1c1d1＝.
異面直線所成角範圍是(0°，90°]，若異面直線a，b的方向向量為m，n，異面直線a，b所成角為θ，則cos θ＝|cos〈m，n〉|.解題過程是：(1)建系；(2)求點座標；(3)表示向量；(4)計算．
【訓練1】 (2011·全國高考)已知正方體abcda1b1c1d1中，e為c1d1的中點，則異面直線ae與bc所成角的余弦值為________．
解析如圖建立直角座標系dxyz，設da＝1，由已知條件
a(1,0,0)，e，
b(1,1,0)，c(0,1,0)，
＝，＝(－1,0,0)
設異面直線ae與bc所成角為θ.
cos θ＝|cos〈，〉|＝＝.
答案 考向二利用向量求直線與平面所成的角
【例2】如圖所示，已知點p在正方體abcda′b′c′d′的對角線bd′上，∠pda＝60°.
(1)求dp與cc′所成角的大小；
(2)求dp與平面aa′d′d所成角的大小．
[審題視點] 轉化為三角形內角求解不易，故考慮用向量法求解，注意向量的夾角與直線與平面所成角的關係．
解如圖所示，以d為原點，da為單位長度建立空間直角座標系dxyz.
則＝(1,0,0)，＝(0,0,1)．
連線bd，b′d′.
在平面bb′d′d中，延長dp交b′d′於h.
設＝(m，m,1)(m>0)，由已知〈，〉＝60°，即·＝||||cos〈，〉，
可得2m＝.
解得m＝，所以＝.
(1)因為cos〈，〉＝＝，
所以〈，〉＝45°，即dp與cc′所成的角為45°.
(2)平面aa′d′d的乙個法向量是＝(0,1,0)．
因為cos〈，〉＝＝，
所以〈，〉＝60°，
可得dp與平面aa′d′d所成的角為30°.
(1)異面直線的夾角與向量的夾角有所不同，應注意思考它們的區別與聯絡．
(2)直線與平面的夾角可以轉化成直線的方向向量與平面的法向量的夾角，由於向量方向的變化，所以要注意它們的區別與聯絡．
【訓練2】 (2010·遼寧)已知三稜錐pabc中，pa⊥平面abc，ab⊥ac，pa＝ac＝ab，n為ab上一點，ab＝4an，m，s分別為pb，bc的中點．
(1)證明：cm⊥sn；
(2)求sn與平面cmn所成角的大小．
解：設pa＝1，以a為原點，射線ab，ac，ap分別為x，y，z軸正向建立空間直角座標系如圖．
則p(0,0,1)，c(0,1,0)，b(2,0,0)，
m，n，
s.(1)證明：＝(1，－1，)，＝，
因為·＝－＋＋0＝0，所以cm⊥sn.
(2)＝，
設a＝(x，y，z)為平面cmn的乙個法向量，則
∴取x＝2，得a＝(2,1，－2)．因為|cos〈a，〉|＝＝，
所以sn與平面cmn所成角為45°.
考向三利用向量求二面角
【例3】(2011·全國新課標)如圖，四稜錐pabcd中，底面abcd為平行四邊形，∠dab＝60°，ab＝2ad，pd⊥底面abcd.
(1)證明：pa⊥bd；
(2)若pd＝ad，求二面角apbc的余弦值．
[審題視點] 會判斷法向量的方向，找準向量夾角與二面角是相等還是互補．
(1)證明因為∠dab＝60°，ab＝2ad，由餘弦定理得bd＝ad.
從而bd2＋ad2＝ab2，故bd⊥ad.
又pd⊥底面abcd，可得bd⊥pd.又ad∩pd＝d.
所以bd⊥平面pad.故pa⊥bd.
(2)解如圖，以d為座標原點，ad的長為單位長，射線da為x軸的正半軸建立空間直角座標系dxyz，則
a(1,0,0)，b(0，，0)，c(－1，，0)，p(0,0,1)．
＝(－1，，0)，＝(0，，－1)，＝(－1,0,0)．
設平面pab的法向量為n＝(x，y，z)，則
即因此可取n＝(，1，)．
設平面pbc的法向量為m，則
可取m＝(0，－1，－)，則cos〈m，n〉＝＝－.
故二面角apbc的余弦值為－.
求二面角最常用的方法就是分別求出二面角的兩個面所在平面的法向量，然後通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結合實際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角．
【訓練3】 如圖，在四稜錐pabcd中，底面abcd是矩形，pa⊥平面abcd，ap＝ab＝2，bc＝2，e，f分別是ad，pc的中點．
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