題型**
立體幾何中的證明往往與計算結合在一起考查。三垂線定理及其逆定理是重點考查的內容。
範例選講
例1． 已知斜三稜柱abc-a』b』c』的底面是直角三角形，∠c=90°，側稜與底面所成的角為α（0°<α<90°），b』在底面上的射影d落在bc上。
（1）求證：ac⊥面bb』c』c。
（2）當α為何值時，ab』⊥bc』，且使得d恰為bc的中點。
講解：（1）∵ b』d⊥面abc，ac面abc，
∴ b』d⊥ac，
又ac⊥bc，bc∩b』d=d，
∴ ac⊥面bb』c』c。
（2）由三垂線定理知道：要使ab』⊥bc』，需且只需ab』在面bb』c』c內的射影b』c⊥bc』。即四邊形bb』c』c為菱形。此時，bc=bb』。
因為b』d⊥面abc，所以，就是側稜b』b與底面abc所成的角。
由d恰好落在bc上，且為bc的中點，所以，此時=。
即當α=時，ab』⊥bc』，且使得d恰為bc的中點。
例2． 如圖：已知四稜錐中，底面四邊形為正方形，側面pdc為正三角形，且平面pdc⊥底面abcd，e為pc中點。
（1）求證：平面edb⊥平面pbc；
（2）求二面角的平面角的正切值。
講解：（1）要證兩個平面互相垂直，常規的想法是：證明其中乙個平面過另乙個平面的一條垂線。
首先觀察圖中已有的直線，不難發現，由於側面pdc為正三角形，所以，，那麼我們自然想到：是否有？這樣的想法一經產生，證明它並不是一件困難的事情。
∵ 面pdc⊥底面abcd，交線為dc，
∴ de在平面abcd內的射影就是dc。
在正方形abcd中，dc⊥cb，
∴ de⊥cb。
又，，∴ de⊥。
又面edb，
∴ 平面edb⊥平面pbc。
（2）由（1）的證明可知：de⊥。所以，就是二面角的平面角。
∵ 面pdc⊥底面abcd，交線為dc，
又平面abcd內的直線cb⊥ dc。
∴ cb⊥面pdc。
又面pdc，
∴ cb⊥pc。
在rt中，。
點評：求二面角的平面角，實際上是找到稜的乙個垂面，事實上，這個垂面同時垂直於二面角的兩個半平面。
例3．如圖：在四稜錐中，⊥平面，∠，，，為的中點。
（1）求證：平面；
（2）當點到平面的距離為多少時，平面與平面所成的二面角為？
講解：題目中涉及到平面與平面所成的二面角，所以，應作出這兩個平面的交線（即二面角的稜）。另一方面，要證平面，應該設法證明ce平行於面內的一條直線，充分利用中點（中位線）的性質，不難發現，剛剛做出的二面角的稜正好符合要求。
（1）延長bc、ad交於點f。
在中，∠，所以，ab、cd都與af垂直，所以，cd//ab，所以，∽。又，，所以，點d、c分別為線段af、bf的中點。
又因為為的中點，所以，ec為的中位線，所以，ec//sf。
又，，所以，平面。
（2）因為：⊥平面，ab平面，所以，ab。又abaf，，所以，ab面。
過a作ahsf於h，連bh，則bhsf，所以，就是平面與平面所成的二面角的平面角。
在rt中，要使=，需且只需ah=ab=。
此時，在saf中，，所以，。
在三稜錐s-acd中，設點a到面scd的距離為h，則
h=因為ab//dc，所以，ab//面scd。所以，點a、b到面scd的距離相等。又因為e為sb中點，所以，點e到平面scd的距離就等於點b到面scd距離的一半，即。
點評：探索性的問題，有些採用先猜後證的方法，有些則是將問題進行等價轉化，在轉化的過程中不斷探求結論。
高考真題
1．（2023年北京高考）如圖：在多面體中，上、下底面平行且均為矩形，相對的側面與同一底面所成的二面角大小相等，側稜延長後相交於e、f兩點，上下底面矩形的長、寬分別為與，且，兩底面間的距離為。
（1）求側面與底面所成二面角的大小；
（2）證明：
（3）在估測該多面體的體積時，經常運用近似公式來計算。已知它的體積公式是。
試判斷與的大小關係，並加以證明。
（注：與兩個底面平行，且到兩個底面距離相等的截面稱為該多面體的中截面）
2.(2023年全國高考)如圖,在正方體中,e,f分別是的中點.
ⅰ.證明ad⊥;
ⅱ.求ae與所成的角;
ⅲ.證明面aed⊥面;
ⅳ.設＝2,求三稜錐的體積
[答案與提示：1. （1）；（3）。 2. （2）90； （4）=1。]
立體幾何中的有關證明
100080 北京中國人民大學附中梁麗平 題型 立體幾何中的證明往往與計算結合在一起考查。三垂線定理及其逆定理是重點考查的內容。範例選講 例1 已知斜三稜柱abc a b c 的底面是直角三角形，c 90 側稜與底面所成的角為 0 90 b 在底面上的射影d落在bc上。1 求證 ac 面bb c c...
立體幾何中的有關證明與綜合問題
例1 已知斜三稜柱abc a b c 的底面是直角三角形，c 90 側稜與底面所成的角為 0 90 b 在底面上的射影d落在bc上。1 求證 ac 面bb c c。2 當 為何值時，ab bc 且使得d恰為bc的中點。講解 1 b d 面abc，ac面abc，b d ac，又ac bc，bc b d...
第8講立體幾何中的向量方法 二
2013年高考會這樣考 考查用向量方法求異面直線所成的角，直線與平面所成的角 二面角的大小 複習指導 複習中要掌握空間角的型別及各自的範圍，掌握求空間角的向量方法，特別注意兩平面法向量的夾角與二面角的關係 基礎梳理 1 空間的角 1 異面直線所成的角 如圖，已知兩條異面直線a b，經過空間任一點o作...