100080 北京中國人民大學附中梁麗平
題型**
立體幾何中的證明往往與計算結合在一起考查。三垂線定理及其逆定理是重點考查的內容。
範例選講
例1. 已知斜三稜柱abc-a』b』c』的底面是直角三角形,∠c=90°,側稜與底面所成的角為α(0°<α<90°),b』在底面上的射影d落在bc上。
(1)求證:ac⊥面bb』c』c。
(2)當α為何值時,ab』⊥bc』,且使得d恰為bc的中點。
講解:(1)∵ b』d⊥面abc,ac面abc,
∴ b』d⊥ac,
又ac⊥bc,bc∩b』d=d,
∴ ac⊥面bb』c』c。
(2)由三垂線定理知道:要使ab』⊥bc』,需且只需ab』在面bb』c』c內的射影b』c⊥bc』。即四邊形bb』c』c為菱形。此時,bc=bb』。
因為b』d⊥面abc,所以,就是側稜b』b與底面abc所成的角。
由d恰好落在bc上,且為bc的中點,所以,此時=。
即當α=時,ab』⊥bc』,且使得d恰為bc的中點。
例2. 如圖:已知四稜錐中,底面四邊形為正方形,側面pdc為正三角形,且平面pdc⊥底面abcd,e為pc中點。
(1)求證:平面edb⊥平面pbc;
(2)求二面角的平面角的正切值。
講解:(1)要證兩個平面互相垂直,常規的想法是:證明其中乙個平面過另乙個平面的一條垂線。
首先觀察圖中已有的直線,不難發現,由於側面pdc為正三角形,所以,,那麼我們自然想到:是否有?這樣的想法一經產生,證明它並不是一件困難的事情。
∵ 面pdc⊥底面abcd,交線為dc,
∴ de在平面abcd內的射影就是dc。
在正方形abcd中,dc⊥cb,
∴ de⊥cb。
又,,∴ de⊥。
又面edb,
∴ 平面edb⊥平面pbc。
(2)由(1)的證明可知:de⊥。所以,就是二面角的平面角。
∵ 面pdc⊥底面abcd,交線為dc,
又平面abcd內的直線cb⊥ dc。
∴ cb⊥面pdc。
又面pdc,
∴ cb⊥pc。
在rt中,。
點評:求二面角的平面角,實際上是找到稜的乙個垂面,事實上,這個垂面同時垂直於二面角的兩個半平面。
例3.如圖:在四稜錐中,⊥平面,∠,,,為的中點。
(1)求證:平面;
(2)當點到平面的距離為多少時,平面與平面所成的二面角為?
講解:題目中涉及到平面與平面所成的二面角,所以,應作出這兩個平面的交線(即二面角的稜)。另一方面,要證平面,應該設法證明ce平行於面內的一條直線,充分利用中點(中位線)的性質,不難發現,剛剛做出的二面角的稜正好符合要求。
(1)延長bc、ad交於點f。
在中,∠,所以,ab、cd都與af垂直,所以,cd//ab,所以,∽。又,,所以,點d、c分別為線段af、bf的中點。
又因為為的中點,所以,ec為的中位線,所以,ec//sf。
又,,所以,平面。
(2)因為:⊥平面,ab平面,所以,ab。又abaf,,所以,ab面。
過a作ahsf於h,連bh,則bhsf,所以,就是平面與平面所成的二面角的平面角。
在rt中,要使=,需且只需ah=ab=。
此時,在saf中,,所以,。
在三稜錐s-acd中,設點a到面scd的距離為h,則
h=因為ab//dc,所以,ab//面scd。所以,點a、b到面scd的距離相等。又因為e為sb中點,所以,點e到平面scd的距離就等於點b到面scd距離的一半,即。
點評:探索性的問題,有些採用先猜後證的方法,有些則是將問題進行等價轉化,在轉化的過程中不斷探求結論。
高考真題
1.(2023年北京高考)如圖:在多面體中,上、下底面平行且均為矩形,相對的側面與同一底面所成的二面角大小相等,側稜延長後相交於e、f兩點,上下底面矩形的長、寬分別為與,且,兩底面間的距離為。
(1)求側面與底面所成二面角的大小;
(2)證明:
(3)在估測該多面體的體積時,經常運用近似公式來計算。已知它的體積公式是。
試判斷與的大小關係,並加以證明。
(注:與兩個底面平行,且到兩個底面距離相等的截面稱為該多面體的中截面)
2.(2023年全國高考)如圖,在正方體中,e,f分別是的中點.
ⅰ.證明ad⊥;
ⅱ.求ae與所成的角;
ⅲ.證明面aed⊥面;
ⅳ.設=2,求三稜錐的體積
[答案與提示:1. (1);(3)。 2. (2)90; (4)=1。]
第15講立體幾何中的有關證明
題型 立體幾何中的證明往往與計算結合在一起考查。三垂線定理及其逆定理是重點考查的內容。範例選講 例1 已知斜三稜柱abc a b c 的底面是直角三角形,c 90 側稜與底面所成的角為 0 90 b 在底面上的射影d落在bc上。1 求證 ac 面bb c c。2 當 為何值時,ab bc 且使得d恰...
立體幾何中的有關證明與綜合問題
例1 已知斜三稜柱abc a b c 的底面是直角三角形,c 90 側稜與底面所成的角為 0 90 b 在底面上的射影d落在bc上。1 求證 ac 面bb c c。2 當 為何值時,ab bc 且使得d恰為bc的中點。講解 1 b d 面abc,ac面abc,b d ac,又ac bc,bc b d...
立體幾何證明
立體幾何證明高中立體幾何的證明主要是平行關係與垂直關係的證明。方法如下 難以建立座標系時再考慮 平行關係 線線平行 1.在同一平面內無公共點的兩條直線平行。2.公理4 平行公理 3.線面平行的性質。4.麵麵平行的性質。5.垂直於同一平面的兩條直線平行。線面平行 1.直線與平面無公共點。2.平面外的一...