一、推薦考題(p228推薦高考2009）
(2009．山東高考)如圖，在直四稜柱abcd - a1b1c1d1中，底面abcd為等腰梯形，ab∥cd，ab=4,bc= cd= 2,aa1=2,e,e1
分別是稜ad，aa1的中點．
(1)設f是稜ab的中點，證明：直線ee1∥平面fcc1；
(2)證明：平面d1ac⊥平面bblc1c
[證明] (1)法一:平面add1a1∥fcc1，ee1包含於平面add1a1 ，所以，直線ee1∥平面fcc1
(2)在平面d1ac內或平面bblc1c內找一根直線垂直於另乙個平面，至少垂直於另乙個平面內的一條直線，以此入手，這是證明此類題的關鍵，
ac⊥bc，ac⊥cc1，ac ⊥平面bblc1c，平面d1ac⊥平面bblc1c
二、（p233例題3文）[文]長方體abcd -a1blc1d1中，aa1=，ab =bc=2，o是底面對角線的交點．
求證：(1)b1d1∥平面bc1d;(2)求證：a1o⊥平面bc1d
證明：（2）a1o⊥平面bc1d，a1o必定垂直於c1o,可以求出a1o,c1o,a1c1的長度，用勾股定理可以證明a1o垂直c1o，bd⊥a1o，所以，a1o⊥平面bdc1
3、（p234,2009．浙江高考) （用到平移直線法，因為f為pb的中點,fm⊥面boe不好求，pn⊥面boe好求）
如圖，平面pac⊥平面abc，abc是以ac為斜邊的等腰直角三角形，e，f，o分別為pa，pb．ac的中點，ac=16,pa=pc=10.
(1)設g是oc的中點，證明：fg∥平面boe;
(2)證明：在△abo內存在一點m，使fm⊥boe，並求點m到oa、ob的距離．
[證明] (1)如圖，取pe的中點為h，連純hg、hf.
因為點e，0，g，h分別是pa，ac．oc，pe的中點，
所以hg//oe，hf//eb.所以平面fgh//平面boe．
因為fg在平面fgh內，所以fg//平面boe．
(2)在平面oap內，過點p作pn⊥oe，交oa於點n，交oe於點q．鏈結bn，過點f作fm∥pn，交bn於點m．
on=op tan∠npo = op * oq/pq=9/2 < oa,(先求pq,再求oq)所以點n**段oa上．
因為f是pb的中點，所以m是bn的中點,bo⊥no
因此點m在△aob內，點m到oa ,ob的距離分別為1/2 0b=4, 1/2 0n = 9/4， ◇（14分）
四、（p232考點1例題1）
如圖；已知pa垂直於矩形abcd所在平面，m,n分別是ab，pc的中點，若∠pda=45°，求證：mn⊥平面pcd
【證明】 法一：pa⊥平面abcd → pa⊥ad，∠pda=45→pa=ad=bc,又m是ab的中點，
rt△pam≌rt△cbm，mp=mc,n是pc的中點→mn⊥pc,設e是cd的中點，連線me、en,
cd⊥平面pad→cd⊥pd,pd∥ne→cd⊥ne，cd⊥me→cd⊥平面mne→cd⊥mn
→mn⊥cd，mn⊥pc，pc∩cd=c→mn⊥平面pcd
法二：如圖，取pd的中點f．連線af，nf，af⊥面pcd,af∥mn，mn⊥平面pcd
（用到平移直線法，因為n為pc的中點，mn平移到af處，在證明垂直時常常用到直線平移法,上題也如此）
五（p253三解答題10）(求二面角a-pc-d的大小，先過apc面上乙個點a畫線ae⊥二面角的另乙個面pcd於點e,再過垂足e做直線en⊥二面角的稜pc於垂足n,連線an，∠ena即為所求的二面角a-pc-d的平面角，第一步畫出垂線是關鍵)
如圖，四稜錐p - abcd的底面是矩形，側面pad是正三角形，且側面pad⊥底面abcd，e為側稜pd的中點．
(1)求證：pb//平面eac
(2)若ad=ab，試求二面角a-pc-d的正切值．
解：法一：(1)證明：連線bd交ac於點0，連線oe，
在三角形pdb中，oe // pb，又oe平面aec，
pb//平面aec．
(2)設ad =ab=pd=pa=a,側面pad⊥底面abcd，cd⊥ad,cd⊥側面pad,cd⊥ae,ae⊥pd,ae⊥平面pdc，在平面pac內做an⊥pc於n，連線en,∠ena是二面角a-pc-d的平面角，∠aen=90°，tan∠ane = ae/en
兩個平面互相垂直，在乙個麵內垂直於它們交線的直線即垂直於另乙個平面，側面pad⊥底面abcd，cd⊥ad交線，cd⊥面pad,cd⊥pd,∠cpd=45°，
在rt△pne sin∠cpe =en/pe 和rt△pdc中 sin∠cpe = dc/pc
en=a,在等邊△pad中，ae= a,tan∠ane=ae/en =
六、(p254,12題）如圖甲，直角梯形abcd中，ab∥cd，∠dab=90°m、n分別在ab，cd上，且mn⊥ab，mc⊥cb,cb=2，mb=4，現將梯形abcd沿mn折起，使平面amnd與平面mncb垂直（如圖乙）．。
(1)求證：ab∥平面dnc;
(2)當dn的長為何值時，二面角d- bc-n的大小為30°
（先過點畫線⊥面，後線⊥稜，再連兩點成線，方法同上題，這是做此類題的基本方法）
解：(1)證明：mb//nc，mb平面dnc，nc平面dnc，mb∥平面dnc．
同理ma∥平面dnc，又ma∩mb=m，且ma、mb平面mab，所以平面mab∥平面dnc,ab平面mab,所以ab∥平面dnc;
(2)過n作nh⊥bc交bc延長線子h，∠dhn為二面角d-bc-n的平面角。tan∠nhd=dn/nh =
cn=4-2cos 60°=3,∴nh=3 sin 60°，∴dn=nh*/3=3/2
7、（p232例題2）如圖，在三稜柱abc-a1blc1中，ab⊥bc.bc⊥bc1,ab=bc1.e、f、g分別為線段ac1、a1c1、bb1的中點，求證：
(1)平面abc⊥平面abc1；(2) fg⊥平面ablc1．
平行線轉換法，eb∥fg
原題給出e是ac1中點，暗示用到此點，用到平移直線法，因為f為a1c1的中點，fg與平面ab1c1內的直線不搭界
(2)平面abc⊥平面abc1,cb⊥交線ab,cb⊥面abc1，cb⊥be，cb∥b1c1，be⊥b1c1，在等腰三角形abc1中，e是底邊ac1的中點，be⊥ac1，be⊥平面ablc1，，be ∥fg ，fg⊥平面ablc1．
八、（p233例3）（理科2009北京高考）在三稜錐p-abc中，pa⊥底面abc，pa=ab,∠abc=60°，∠bca= 90°，點d、e分別在稜pb、pc上，且de∥bc．(1)求證；bc⊥平面pac
(2)當d為pb的中點時，求ad與平面pac所成的角的正弦值，
(3)是否存在點e使得二面角a-de-p為直二面角？並說明理由（不定e點位置，線存在即可）
【解】 (1)證明；『∵pa⊥底面abc，∴pa⊥bc．又∠bca=90。∴ac⊥bc，所以bc⊥平面pac
(2)ed//bc，又由(1)知，bc⊥平面pac，所以de⊥平面pac.∠dae是ad與平面pac所成的角，在rt△dae中，sin∠dae=de/ad=bc/2ad=/4
（3）因為pa⊥底面abc，所以pa⊥ac，所以∠pac=90，所以在稜pc上存在一點e,使得ae⊥pc．
又因為bc⊥面pac,所以面pbc⊥面pac，面pbc面pac=pc,故ae⊥pc即可ae⊥面pbc,使得二面角a-de-p為直二面角，故存在點e使得二面角a-de-p是直二面角．
九、[考題4]（蘇教必修二p65頁）已知abcd -a1blcid1是稜長為3的正方體，點e在aa1上，點f在cc1上，且ae= fc1 =1.(1)求證：e、b、f、d1四點共面；(2)若點g在bc上，bg=,點m在bb1上，gm ⊥bf，垂足為h，求證：
em⊥平面bcclb1；(3)用θ表示截面ebfd1和側面bcclb1所成銳二面角的大小，求tan
[解析] (1)如圖在dd1上取點n，使dn =1，鏈結en,cn，則ae =dn =1,cf =nd1=2.因為ae∥dn，ndl∥cf，所以四邊形adne、cfd1n都為平行四邊形，fd1平行且等於be, e、b、f、d1四點共面
(2)因為gm⊥bf，叉bm⊥bc，所以∠bgm=∠cfb， mb=bg*tan∠bgm =bg·tan ∠cfb =bg*bc/cf=3/2×2/3=1．因為ae∥＝bm，
所以四邊形abme為平行四邊形，從而ab// em.又ab⊥平面bcclb1,所以em⊥平面bcc1b1
(3)鏈結eh，因為為mh⊥bf，em⊥bf，所以bf⊥平面emh，使得eh⊥bf,
於是∠ehm是所求的二面角的平面角，即∠ehm=θ
因為∠mbh=∠cfb，所以mh = bm.sin ∠mbh=bm.sin ∠cfb ，tanθ=em/mh=
先過點畫線⊥面，後線⊥稜，再連兩點成線，上述九道題中所有求二面角大小的題都是用的此方法。
10、 求直線與平面所成角的大小方法：
先過ab線上乙個點a畫直線ae⊥平面,交平面於點e,連線be，∠aeb即為所求。第一步是關鍵。
11、 證明面1⊥面2的方法：在1麵內找乙個直線⊥面2，看那一條直線像是⊥面2的直線，至少⊥面2內的一條直線。
立體幾何向量補充二面角教師版
週末提高九 1.2014秋武穴市校級期中 如圖，邊長為2的正方體abcd a1b1c1d1中，e f分別是稜a1d1，b1c1的中點 求異面直線ae與fc所成角的余弦值 求直線ac1與平面b1bcc1所成角的正切值 解 1 在正方體abcd a1b1c1d1中，e f分別是稜a1d1，b1c1的中點...
必修二立體幾何測試題
一 選擇題 4分題 1.下面四個條件中，能確定乙個平面的條件是 a.空間任意三點 b.空間兩條直線 c.空間兩條平行直線 d.一條直線和乙個點 2 是空間三條不同的直線，則下列命題正確的是 ab c 共面d 共點，共面 3 已知m，n是兩條不同的直線，是三個不同的平面，下列命題中正確的是 a 若，則...
廣東文科二輪立體幾何找高求體積
1 證明 ac sb 2 求b cmn的體積 1 證明 取ac中點d，連線sd，db 因為sa sc，ab bc，所以ac sd且ac bd，因為sd bd d，所以ac 平面sdb 又sb平面sdb，所以ac sb 2 解 因為ac 平面sdb，ac平面abc，所以平面sdc 平面abc 過n作n...