週末提高九
1.（2014秋武穴市校級期中）如圖，邊長為2的正方體abcd﹣a1b1c1d1中，e、f分別是稜a1d1，b1c1的中點．
（ⅰ）求異面直線ae與fc所成角的余弦值；
（ⅱ）求直線ac1與平面b1bcc1所成角的正切值．
解：（1）在正方體abcd﹣a1b1c1d1中，e、f分別是稜a1d1，b1c1的中點．連線bf，則ef∥ab，所以bf∥ae，所以∠bfc為異面直線ae與fc所成角，
cos∠bfc==，所以異面直線ae與fc所成角的余弦值為．
（2）因為ab⊥平面b1bcc1，所以∠ac1b為直線ac1與平面b1bcc1所成角，tan∠ac1b=；直線ac1與平面b1bcc1所成角的正切值．
2.（2015南昌校級二模）在直三稜柱abc﹣a′b′c′中，底面abc是邊長為2的正三角形，
d′是稜a′c′的中點，且aa′=2．
（ⅰ）試在稜cc′上確定一點m，使a′m⊥平面ab′d′；
（ⅱ）當點m在稜cc′中點時，求直線ab′與平面a′bm所成角的正弦值．
解：（1）∵直三稜柱abc﹣a′b′c′中，底面abc是邊長為2的正三角形，d′是稜a′c′的中點，
∴b'd'⊥a'c'，
∴b'd'⊥平面acc'a'，
∴b'd'⊥a'm，
∴在稜cc′上確定一點m，使a′m⊥平面ab′d′，只要過a'作a'm⊥ad'交cc'與點m；
（2）如圖建立空間直角座標系，
因為直三稜柱abc﹣a′b′c′中，底面abc是邊長為2的正三角形，d′是稜a′c′的中點，且aa′=2．
所以a（0，0，0），b'（，1，2），a'（0，0，2），b（，1，0），
m（0，2，），
所以=（，1，2），=（0，2，﹣），=（，1，﹣2），
設平面a'bm的乙個法向量為=（x，y，z），
則，即，令y=1，則=（，1，），
cos＜，＞==；
所以當點m在稜cc′中點時，直線ab′與平面a′bm所成角的正弦值為．
3.（2011秋浦口區校級月考）如圖，已知正方體abcd﹣a1b1c1d1的稜長為2，點p，q，r分別是稜ab，cc1，d1a1的中點．
（1）求證：b1d⊥平面pqr；
（2）設二面角b1﹣pr﹣q的大小為θ，求|cosθ|．
解：（1）建立如圖所示的空間直角座標系，則p（1，0，0），
q（2，2，1），r（0，1，2），d（0，2，0），b1（2，0，2）
∴∴，∴，
∵pr∩pq=p，pr，pq平面pqr；∴b1d⊥平面pqr；
（2）由（1）知，是平面pqr的乙個法向量
設是平面b1pr的乙個法向量
∵∴，∴
取z=1，則x=﹣2，y=﹣4
∴平面b1pr的乙個法向量為
∴= ∴
4. （2011蘇州二模）在直三稜柱abc﹣a1b1c1中，底面△abc是直角三角形，ac=bc=aa1=2，d為側稜aa1的中點．
（1）求異面直線dc1，b1c所成角的余弦值；
（2）求二面角b1﹣dc﹣c1的平面角的余弦值．
解：（1）如圖所示，以c為原點，ca、cb、cc1為座標軸，建立空間直角座標系c﹣xyz．
則c（0，0，0），a（2，0，0），b（0，2，0），c1（0，0，2），b1（0，2，2），d（2，0，1）．
所以=（﹣2，0，1），=（0，﹣2，﹣2）．
所以cos＜＞===﹣．
即異面直線dc1與b1c所成角的余弦值為．
（2）因為=（0，2，0），=（2，0，0），=（0，0，2），
所以=0，=0，所以為平面acc1a1的乙個法向量
因為=（0，﹣2，﹣2），=（2，0，1），設平面b1dc的乙個法向量為n，n=（x，y，z）．
由，得令x=1，則y=2，z=﹣2，n=（1，2，﹣2）．
所以cos＜n，＞===．所以二面角b1﹣dc﹣c1的余弦值為．
5.（2012重慶）如圖，在直三稜柱abc﹣a1b1c1中，ab=4，ac=bc=3，d為ab的中點．
（ⅰ）求異面直線cc1和ab的距離；
（ⅱ）若ab1⊥a1c，求二面角a1﹣cd﹣b1的平面角的余弦值．
解：（ⅰ）解：因為ac=bc，d為ab的中點，故cd⊥ab，
又直三稜柱中，cc1⊥面abc，故cc1⊥cd，
所以異面直線cc1和ab的距離為：cd==．
（ⅱ）解法一；由cd⊥ab，cd⊥bb1，故cd⊥平面a1abb1，
從而cd⊥da1，cd⊥db1，故∠a1db1為所求的二面角a1﹣cd﹣b1的平面角．
因a1d是a1c在面a1abb1上的射影，
又已知ab1⊥a1c，由三垂線定理的逆定理得ab1⊥a1d，
從而∠a1ab1，∠a1da都與∠b1ab互餘，
因此∠a1ab1=∠∠a1da，
所以rt△a1ad∽rt△b1a1a，因此=，得=ada1b1=8，
從而a1d==2，b1d=a1d=2．
所以在三角形a1db1中，cos∠a1db1==．
解法二：過d作dd1∥aa1交a1b1於d1，在直三稜柱中，
由第一問知：db，dc，dd1兩兩垂直，以d為原點，射線db，dc，dd1分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角座標系d﹣xyz．．
設直三稜柱的高為h，則a（﹣2，0，0），a1（﹣2，0，h）．b1（2，0，h）．c（0，，0）
從而=（4，0，h），=（2，，﹣h）．
由ab1⊥a1c得=0，即8﹣h2=0，因此h=2，
故=（﹣1，0，2），=（2，0，2），=（0，，0）．
設平面a1cd的法向量為=（x，y，z），則⊥，⊥，即
取z=1，得=（，0，1），
設平面b1cd的法向量為=（a，b，c），則⊥，，即
取c=﹣1得=（，0，﹣1），
所以cos＜，＞===．
所以二面角的平面角的余弦值為．
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