〖立體幾何〗高頻考點+母題訓練
一、選擇題（題型注釋）
1．用斜二測畫法畫乙個水平放置的平面圖形的直觀圖為如圖所示的乙個正方形，則原來的圖形是（ ）
【答案】a
【解析】
試題分析：根據斜二測畫法知， 平行於x軸的線段長度不變，平行
於y的線段變為原來的，∵o′c′=1，o′a′=，∴oc=o′c′=1，oa=2o′a′=； 由此得出原來的圖形是a．
考點：斜二測畫法
2．某幾何體的三檢視如圖所示，當xy最大時，該幾何體的體積為（ ）
a． b． c． d．
【答案】a
【解析】
試題分析：該三檢視對應的的幾何體如下圖所示：
則上圖的長方體是長、寬分別為，設高為，則根據三檢視，，所以得：，根據不等式
可知，，當且僅當時
等號成立，此時，所以該幾何體的體積
．考點：三檢視與幾何體的體積．
3．已知正六稜柱的底面邊長和側稜長相等，體積為．其
三檢視中的俯檢視（如圖所示），則其左檢視的面積是（ ）
a． b． c． d．
【答案】a
【解析】
試題分析：設正六稜柱的底面邊長是，那麼底面面積是，那麼體積，所以，解得，那麼左檢視是矩形，矩形的高就是俯檢視的寬，所以左檢視的面積是．
考點：1．三檢視；2．幾何體的體積．
名師點睛：1．柱體的體積是；2．畫三檢視的原則是長對正，高平齊，寬相等．
4．如圖（1）、（2）、（3）、（4）為四個幾何體的三檢視，根據三檢視可以判斷這四個幾何體依次分別為（ ）．
a．三稜臺、三稜柱、圓錐、圓台
b．三稜臺、三稜錐、圓錐、圓台
c．三稜柱、四稜錐、圓錐、圓台
d．三稜柱、三稜臺、圓錐、圓台[
【答案】c
【解析】
試題分析：由（1）三檢視可得其還原圖為三稜柱，（2）的還原圖為四稜錐，（3）的還原圖為圓錐，（4）的還原圖為圓台，故選c。
考點：三檢視
5．某四面體的三檢視如圖所示，正檢視、俯檢視都是腰長為2的等腰直角三角形,側檢視是邊長為2的正方形，則此四面體的四個麵中面積最大的為（ ）
ab．4 cd．
【答案】c
【解析】
試題分析：如圖，該幾何體是正方體中的，正方體的稜長為2，四面體的四個面的面積分別為，最大的為．
考點：三檢視．
6．點a，b，c，d均在同一球面上，且ab，ac，ad兩兩垂直，且ab=1，ac=2，ad=3，則該球的表面積為
a． b． c． d．
【答案】b
【解析】
試題分析：以ab，ac，ad為三邊作長方體，長方體的外切球即為所求，長方體的體對角線為球的直徑，所以，所以球的表面積為
考點：正方體外接球
7．過球的一條半徑的中點，作垂直於該半徑的平面，則所得截面的面積與球的表面積的比（ ）
abcd．
【答案】a
【解析】
試題分析：設球的半徑為，圓的半徑為，由圖可知，，截面圓的面積為，則所得截面的面積與球的表面積為
考點：球的體積和表面積
8．乙個空間幾何體的三檢視如下圖，其中正檢視是邊長為2的正三角形，俯檢視是邊長分別為1，2的矩形，則該幾何體的側面積為（ ）
ab． cd．
【答案】a
【解析】
試題分析：由已知有，平面abcd，，，則，∴．
考點：三檢視、錐體的側面積．
9．已知某幾何體的三檢視如圖所示,其中正檢視和側檢視都是由三角形和半圓組成,俯檢視是由圓和內接三角形組成,則該幾何體體積為（ ）
a． b． c． d．
【答案】b
【解析】
試題分析：由三檢視可知，該幾何體底部是半徑為的半球，上部是乙個三稜錐（底面是邊長為1的等腰直角三角形，高為1），所以幾何體的體積為：．
考點：三檢視與幾何體的體積
10．在直三稜柱中，若，，，，為的中點，為的中點，**段上，．則異面直線與所成角的正弦值為（ ）
abcd．
【答案】c
【解析】
試題分析：以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角座標系，則由題意得
則設異面直線與所成角為，
選c考點：利用空間直角座標系計算異面直線所成的角
【思路點晴】本題考查異面直線所成角的求法，屬中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角座標系，利用向量法求出面直線與所成角的余弦值，再用同角三角函式的基本關係式求出其正弦值
二、填空題（題型注釋）
11．如圖是某幾何體的三檢視（單位：cm），則該幾何體的表面積是__ ___cm2，體積為_ __ cm3．
【答案】
【解析】
試題分析：解：根據三檢視得出：該幾何體是三稜錐，
，ab⊥面bcd，bc⊥cd，∴幾何體的表面積是其體積：，故答案為：．
考點：空間幾何體的三檢視．
12．一條長為2的線段，它的三個檢視分別是長為的三條線段，則的最大值為_______
【答案】
【解析】
試題分析：由題意可知當長方體的對角線為時體對角線為2，設三邊長為，所以
，最大值為
考點：1.長方體性質；2.不等式性質
13．如圖，在正方體中，點p是上底面內一動點，則三稜錐的主檢視與左檢視的面積的比值為
【答案】1
【解析】
試題分析：主檢視是底面邊長和高都為正方體的邊長，左檢視是底
面邊長和高都為正方體的邊長，所以主檢視與左檢視的面積的比值為1
考點：三檢視
14．已知矩形的周長為，把它沿圖中的虛線折成正六稜柱，當這個正六稜柱的體積最大時，它的外接球的表面積為
【答案】
【解析】
試題分析：設正六稜柱的的底面邊長為，高為，則，所以，正六稜柱的體積，，令，解得，令得，即函式在是增函式，在是減函式，所以在時取得最大值，此時．易知正六稜柱的外接球的球心是其上下中心連線的中點，如圖所示，外接球的半徑為所以外接球的表面積為
考點：外接球的表面積．
15．已知側稜長為2的正三稜錐如圖所示，其側面是頂角為的等腰三角形，乙隻螞蟻從點出發，圍繞稜錐側面爬行兩周後又回到點，則螞蟻爬行的最短路程為_______．
【答案】
【解析】
試題分析：由題意，利用側面展開圖兩次，則頂角為，利用餘弦定理可得螞蟻爬行的最短路程為。
考點：多面體和旋轉體表面上的最短距離問題
三、解答題（題型注釋）
16．（本小題滿分12分）如圖所示，正方形和矩形所在平面相互垂直，是的中點．
（1）求證：；
（2）若直線與平面成45o角，求異面直線與所成角的余弦值．
【答案】（1）詳見解析（2）
【解析】
試題分析：（1）由已知中的麵麵垂直結合正方形中的可得到，進而得到；（2）由直線與平面成45o角得到正方形邊長與矩形邊長的關係，求異面直線與所成角首先借助於中點作平行線，轉化為相交線所成角，通過三角形三邊長求得內角大小
試題解析：（1）證明：在矩形中，
∵平面平面，且平面平面
∴ 且平面
∴ （2）由（1）知：
∴是直線與平面所成的角，即
設取，連線
∵是的中點 ∴
∴是異面直線與所成角或其補角
∵，，在中，由餘弦定理有：
∴ 異面直線與所成角的余弦值為． （用向量法也可）
考點：1．線面垂直的判定與性質；2．異面直線所成角
17．如圖，已知三稜柱abc—a1b1c1的側面與底面垂直，aa1＝ab＝ac＝1，ab⊥ac，m、n、p分別是cc1、bc、a1b1的中點．
（1）求證：pn⊥am；
（2）若直線mb與平面pmn所成的角為θ，求sinθ的值．
【答案】（1）詳見解析；（2）
【解析】
試題分析：（1）利用空間向量證明線線垂直，關鍵是建立空間直角座標系，正確表示座標，再利用向量數量積給予證明 （2）利用空間向量求線面角，同樣先建立空間直角座標系，再求出平面的乙個法向量，利用向量數量積求夾角，最後根據線面角與向量夾角之間關係求值
試題解析：（1）證明：建立如圖所示直角座標系，則a（0,0,0），b（1,0,0），
c（0,1,0），a1（0,0,1），b1（1,0,1），c1（0,1,1），p（，0，1），
m（0,1，），n（，，0），＝（0．-，1），＝（0,1,）．
因為·＝0×0＋ （－1）×＋1×＝0，
所以pn⊥am．（4分）
（2）解：設平面pmn的乙個法向量為n1＝（x1，y1，z1），
＝（0．-，1），＝（-，，），
則令y1＝2，得z1＝1，x1＝3，
所以n1＝（3,2,1）．（6分）
又＝（1,-1，-），
所以sinθ＝．（10分）
考點：利用空間向量證明線線垂直，利用空間向量求線面角
18．（本小題滿分14分）如圖，已知六稜柱的側稜垂直於底面，側稜長與底面邊長都為3，，分別是稜，上的點，且．
（1）證明：，，，四點共面；
（2）求直線與平面所成角的正弦值．
【答案】（1）證明見解析；（2）．
【解析】
試題分析：（1）連線，，，，由已知條件可證，進而可證，即可證，，，四點共面；（2）先建立空間直角座標系，再計算平面的法向量，進而可得直線與平面所成角的正弦值．
試題解析：第（1）問用幾何法，第（2）問用向量法：
（1）證明：連線，，，，
在四邊形中，且，
在四邊形中，且，
所以且，
所以四邊形是平行四邊形．
所以2分
在△中，，，
所以，所以4分
所以．所以，，，四點共面6分
（2）解：以點為座標原點，，，所在的直線分別為軸，軸，軸，建立如圖的空間直角座標系，則，，，
8分則，，
10分設是平面的法向量，則即
取，則，．
所以是平面的乙個法向量12分
設直線與平面所成的角為，
則．故直線與平面所成角的正弦值為14分
第（1）（2）問均用向量法：
（1）證明：以點為座標原點，，，所在的直線分別為軸，軸，軸，建立如圖的空間直角座標系，則，，，
，，， 2分
所以，． 3分
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