立體幾何證明題
考點1：點線面的位置關係及平面的性質
例1.下列命題：
①空間不同三點確定乙個平面；
②有三個公共點的兩個平面必重合；
③空間兩兩相交的三條直線確定乙個平面；
④三角形是平面圖形；
⑤平行四邊形、梯形、四邊形都是平面圖形；
⑥垂直於同一直線的兩直線平行；
⑦一條直線和兩平行線中的一條相交，也必和另一條相交；
⑧兩組對邊相等的四邊形是平行四邊形．
其中正確的命題是________．
【解析】 由公理3知，不共線的三點才能確定乙個平面，所以知命題①錯，②中有可能出現兩平面只有一條公共線(當這三個公共點共線時)，②錯．③空間兩兩相交的三條直線有三個交點或乙個交點，若為三個交點，則這三線共面，若只有乙個交點，則可能確定乙個平面或三個平面．⑤中平行四邊形及梯形由公理2可得必為平面圖形，而四邊形有可能是空間四邊形，如圖(1)所示．
在正方體abcd—a′b′c′d′中，直線bb′⊥ab，bb′⊥cb，但ab與cb不平行，∴⑥錯．ab∥cd，bb′∩ab＝b，但bb′與cd不相交，∴⑦錯．如圖(2)所示，ab＝cd，bc＝ad，四邊形abcd不是平行四邊形，故⑧也錯．
【答案】 ④
2.若p是兩條異面直線l、m外的任意一點，則( )
a．過點p有且僅有一條直線與l、m都平行
b．過點p有且僅有一條直線與l、m都垂直
c．過點p有且僅有一條直線與l、m都相交
d．過點p有且僅有一條直線與l、m都異面
答案 b
解析對於選項a，若過點p有直線n與l，m都平行，則l∥m，這與l，m異面矛盾．
對於選項b，過點p與l、m都垂直的直線，即過p且與l、m的公垂線段平行的那一條直線．
對於選項c，過點p與l、m都相交的直線有一條或零條．
對於選項d，過點p與l、m都異面的直線可能有無數條．
3.已知異面直線a，b分別在平面α，β內，且α∩β＝c，那麼直線c一定
a．與a，b都相交
b．只能與a，b中的一條相交
c．至少與a，b中的一條相交
d．與a，b都平行
答案 c
解析若c與a，b都不相交，則c與a，b都平行，根據公理4，則a∥b，與a，b異面矛盾．
考點2：共點、共線、共面問題
例1.下列各圖是正方體和正四面體，p、q、r、s分別是所在稜的中點，這四個點不共面的圖形是 ( )
【解析】 ①在a中易證ps∥qr，
∴p、q、r、s四點共面．
②在c中易證pq∥sr，
∴p、q、r、s四點共面．
③在d中，∵qr平面abc，
ps∩面abc ＝p且pqr，
∴直線ps與qr為異面直線．
∴p、q、r、s四點不共面．
④在b中p、q、r、s四點共面，證明如下：
取bc中點n，可證ps、nr交於直線b1c1上一點，∴p、n、r、s四點共面，設為α.
可證ps∥qn，∴p、q、n、s四點共面，設為β.
∵α、β都經過p、n、s三點，∴α與β重合，∴p、q、r、s四點共面．
【答案】 d
2.空間四點中，三點共線是這四點共面的 ( )
a．充分不必要條件 b．必要不充分條件
c．充分必要條件 d．既不充分也不必要條件
答案 a
3.下面三條直線一定共面的是 ( )
a．a、b、c兩兩平行
b．a、b、c兩兩相交
c．a∥b，c與a、b均相交
d．a、b、c兩兩垂直
答案 c
4.已知三個平面兩兩相交且有三條交線，試證三條交線互相平行或者相交於一點．
【解析】 設α∩β＝a，β∩γ＝b，γ∩α＝c，
由aβ，bβ，則a∩b＝o，如圖(1)，
或a∥b，如圖(2)，若a∩b＝o，
o∈a，aα，則o∈α，o∈b，bγ，則o∈γ，
又γ∩α＝c，因此o∈c；
若a∥b，aγ，bγ，則a∥γ，又aα，α∩γ＝c，則a∥c.
因此三條交線相交於一點或互相平行．
5.如圖所示，已知空間四邊形abcd中，e、h分別是邊ab，ad的中點，f，g分別是邊bc，cd上的點，且＝＝.
(1)求證：三條直線ef，gh，ac交於一點．
(2)若在本題中，＝＝2，＝＝3，其他條件不變．求證：eh、fg、bd三線共點．
【解析】 (1)∵e，h分別是ab，ad的中點，
∴由中位線定理可知，eh綊bd.
又∵＝＝，
∴在△cbd中，fg∥bd，且fg＝bd.
∴由公理4知，eh∥fg，且eh∴四邊形efgh是梯形，eh、fg為上、下兩底．
∴兩腰ef、gh所在直線必相交於一點p.
∵p∈直線ef，ef平面abc，
∴p∈平面abc.同理可得p∈平面adc.
∴p在平面abc和平面adc的交線上．
又∵面abc∩面adc＝ac，
∴p∈直線ac.
故ef、gh、ac三直線交於一點．
(2)∵＝＝2，
∴ef∥ac.
又＝＝3，∴hg∥ac，∴ef∥hg，且ef>hg.
∴四邊形efgh為梯形．
設eh與fg交於點p，
則p∈平面abd，p∈平面bcd.
∴p在兩平面的交線bd上．
∴eh、fg、bd三線共點．
考點3：異面直線的夾角
1.在正方體abcd－a1b1c1d1中，e為ab的中點．求bd1與ce所成角的余弦值．
【解析】 連線ad1，a1d交點為m，連線me，mc，則∠mec(或其補角)即為異面直線bd1與ce所成的角，設ab＝1，ce＝，me＝bd1＝，cm2＝cd2＋dm2＝.
在△mec中，cos∠mec
＝＝，因此異面直線bd1與ce所成角的余弦值為.
2.如圖，若正四稜柱abcd－a1b1c1d1的底面邊長為2，高為4，則異面直線bd1與ad所成角的正切值是______．
答案 3.已知正四稜柱abcd－a1b1c1d1中，aa1＝2ab，e為aa1中點，則異面直線be與cd1所成角的余弦值為 ( )
a. b. c. d.
答案 c
解析連線ba1，則cd1∥ba1，於是∠a1be就是異面直線be與cd1所成的角(或補角)，設ab＝1，則be＝，ba1＝，a1e＝1，在△a1be中，cos∠a1be＝＝，選c.
4.已知正方體abcd－a1b1c1d1中，e為c1d1的中點，則異面直線ae與bc所成角的余弦值為________．
【解析】 取a1b1的中點f，連線ef，fa，則有
ef∥b1c1∥bc，∠aef即是直線ae與bc所成的角或其補角．設正方體abcd—a1b1c1d1的稜長為2a，則有ef＝2a，af＝＝a，ae＝＝3a.在△aef中，cos∠aef＝＝＝.因此，異面直線ae與bc所成的角的余弦值是.
【答案】
考點4：直線與平面平行的判定與性質
1.下列命題中正確的是________．
①若直線a不在α內，則a∥α；
②若直線l上有無數個點不在平面α內，則l∥α；
③若直線l與平面α平行，則l與α內的任意一條直線都平行；
④如果兩條平行線中的一條與乙個平面平行，那麼另一條也與這個平面平行；
⑤若l與平面α平行，則l與α內任何一條直線都沒有公共點；
⑥平行於同一平面的兩直線可以相交．
答案 ⑤⑥
解析 a∩α＝a時，a不在α內，∴①錯；直線l與α相交時，l上有無數個點不在α內，故②錯；l∥α時，α內的直線與l平行或異面，故③錯；a∥b，b∥α時，a∥α或aα，故④錯；l∥α，則l與α無公共點，∴l與α內任何一條直線都無公共點，⑤正確；如圖，長方體中，a1c1與b1d1都與平面abcd平行，∴⑥正確．
2.給出下列四個命題：
①若一條直線與乙個平面內的一條直線平行，則這條直線與這個平面平行；
②若一條直線與乙個平面內的兩條直線平行，則這條直線與這個平面平行；
③若平面外的一條直線和這個平面內的一條直線平行，則這條直線和這個平面平行；
④若兩條平行直線中的一條與乙個平面平行，則另一條也與這個平面平行．
其中正確命題的個數是________個．
答案 1
解析命題①錯，需說明這條直線在平面外．
命題②錯，需說明這條直線在平面外．
命題③正確，由線面平行的判定定理可知．
命題④錯，需說明另一條直線在平面外．
3.已知不重合的直線a，b和平面α，
①若a∥α，bα，則a∥b；
②若a∥α，b∥α，則a∥b；
③若a∥b，bα，則a∥α；
④若a∥b，aα，則b∥α或bα，
上面命題中正確的是________(填序號)．
答案 ④
解析 ①若a∥α，bα，則a，b平行或異面；②若a∥α，b∥α，則a，b平行、相交、異面都有可能；③若a∥b，bα，a∥α或aα.
4.正方形abcd與正方形abef所在平面相交於ab，在ae、bd上各有一點p、q，且ap＝dq.求證：pq∥平面bce.
【證明】 方法一如圖所示．
作pm∥ab交be於m，
作qn∥ab交bc於n，
連線mn.
∵正方形abcd和正方形abef有公共邊ab，∴ae＝bd.
又ap＝dq，∴pe＝qb.
又pm∥ab∥qn，∴＝＝，＝.
∴＝.∴pm綊qn，即四邊形pmnq為平行四邊形．
∴pq∥mn.又mn平面bce，pq平面bce，
∴pq∥平面bce.
方法二如圖，連線aq，並延長交bc延長線於k，連線ek.
∵ae＝bd，ap＝dq，
∴pe＝bq，∴＝.
又ad∥bk，∴＝，∴＝，∴pq∥ek.
又pq平面bce，ek平面bce，
∴pq∥平面bce.
方法三如圖，在平面abef內，過點p作pm∥be，交ab於點m，連線qm.
∴pm∥平面bce.
又∵平面abef∩平面bce＝be，
∴pm∥be，∴＝.
又ae＝bd，ap＝dq，∴pe＝bq.
∴＝，∴＝.
∴mq∥ad.又ad∥bc，
∴mq∥bc，∴mq∥平面bce.又pm∩mq＝m，
∴平面pmq∥平面bce.又pq平面pmq，
∴pq∥平面bce.
5.乙個多面體的直觀圖和三檢視如圖所示(其中m，n分別是af，bc中點)．
<1>求證：mn∥平面cdef；
<2>求多面體a—cdef的體積．
解析 (1)證明由三檢視知，該多面體是底面為直角三角形的直三稜柱，且ab＝bc＝bf＝2，
de＝cf＝2，∴∠cbf＝90°.
取bf中點g，連線mg，ng，由m，n分別是af，bc中點，可知：ng∥cf，mg∥ef.又mg∩ng＝g，cf∩ef＝f，
∴平面mng∥平面cdef，∴mn∥平面cdef.
立體幾何證明題
1 如圖三稜柱abc a1b1c1中,每個側面都是正方形,d為底邊ab中點,e為側稜cc1中點,ab1與a1b交於點o。i 求證 cd 平面a1eb。ii 求證 平面ab1c 平面a1eb 2 如圖，四稜錐的底面為正方形，側稜底面，且，分別是線段的中點。1 求證 平面 2 求證 平面 3 如圖，四稜...
立體幾何證明題
1.如圖，在直三稜柱abc a1b1c1中，已知 acb 90 m為a1b與ab1的交點，n為稜b1c1的中點，1 求證 mn 平面aa1c1c 2 若ac aa1，求證 mn 平面a1bc.2.如圖，在四稜錐p abcd中，o為ac與bd的交點，ab平面pad，pad是正三角形，dc ab，da ...
立體幾何 教師版
立體幾何 高頻考點 母題訓練 一 選擇題 題型注釋 1 用斜二測畫法畫乙個水平放置的平面圖形的直觀圖為如圖所示的乙個正方形，則原來的圖形是 答案 a 解析 試題分析 根據斜二測畫法知，平行於x軸的線段長度不變，平行 於y的線段變為原來的，o c 1，o a oc o c 1，oa 2o a 由此得出...