立體幾何
1.如圖：梯形和正所在平面互相垂直，其中，且為中點.
( i ) 求證：平面；
( ii ) 求證： .
2.如圖，菱形的邊長為，,.將菱形沿對角線折起，得到三稜錐,點是稜的中點，.
（ⅰ）求證：平面；
（ⅱ）求證：平面平面；
（ⅲ）求三稜錐的體積.
3. 如圖，在四稜錐中，底面為直角梯形，ad//bc，∠adc=90°，bc=ad，pa=pd，q為ad的中點．
（ⅰ）求證：ad⊥平面pbq；
（ⅱ）若點m在稜pc上，設pm=tmc，試確定t的值，使得
pa//平面bmq．
4. 已知四稜錐的底面是菱形．，為的中點．
（ⅰ）求證：∥平面；
（ⅱ）求證：平面平面．
5. 已知直三稜柱的所有稜長都相等，且分別為的中點. (i) 求證：平面平面；
（ii）求證：平面.
6.如圖所示，正方形與直角梯形所在平面互相垂直，，，.
(ⅰ)求證：平面；
(ⅱ)求證：平面；
（ⅲ）求四面體的體積.
7. 如圖，在四稜錐中，平面pad⊥平面abcd，
ab=ad，∠bad=60°，e、f分別是ap、ad的中點
求證：（1）直線ef//平面pcd；
（2）平面bef⊥平面pad.
8.如圖，四邊形abcd為正方形，qa⊥平面abcd，pd∥qa，qa=ab=pd．
（i）證明：pq⊥平面dcq；
（ii）求稜錐q—abcd的的體積與稜錐p—dcq的體積的比值．
9. 如圖，在△abc中，∠abc=45°，∠bac=90°，ad是bc上的高，沿ad把△abd折起，使∠bdc=90°。
（1）證明：平面ａｄｂ⊥平面ｂｄｃ；
（2）設bd=1，求三稜錐d—ａｂｃ的表面積。
參***：
1. 證明: (i) 因為為中點，
所以1分
又，所以有2分
所以為平行四邊形,所以3分
又平面平面
所以平面5分
(ii)連線.
因為所以為
平行四邊形6分
又,所以為菱形，
所以7分
因為正三角形,為中點，
所以8 分
又因為平面平面,平面平面，
所以平面10分
而平面，所以，
又，所以平面12分
又平面，所以13分
2. （ⅰ）證明：因為點是菱形的對角線的交點，
所以是的中點.又點是稜的中點，
所以是的中位線2分
因為平面,平面，
所以平面4分
（ⅱ）證明：由題意，,
因為,所以6分
又因為菱形，所以. …………7分
因為,所以平面8分
因為平面，
所以平面平面9分
（ⅲ）解：三稜錐的體積等於三稜錐的體積10分
由（ⅱ）知，平面，
所以為三稜錐的高11分
的面積為， ……………12分
所求體積等於13分
3. 證明：（ⅰ）ad // bc，bc=ad，q為ad的中點，
∴ 四邊形bcdq為平行四邊形， ∴cd // bq ．
∵ ∠adc=90° ∴∠aqb=90° 即qb⊥ad．
∵ pa=pd，q為ad的中點，
∴pq⊥ad．
∵ pq∩bq=q，
∴ad⊥平面pbq6分
（ⅱ）當時，pa//平面bmq．
連線ac，交bq於n，連線mn．
∵bcdq，
∴四邊形bcqa為平行四邊形，且n為ac中點，
∵點m是線段pc的中點，
∴ mn // pa．
∵ mn平面bmq，pa平面bmq，
∴ pa // 平面bmq13分
4. （ⅰ）證明：因為，分別為，的中點，
所以∥．
因為平面
平面所以∥平面．
……………………6分
（ⅱ）證明：鏈結
因為，所以．
在菱形中，
因為所以平面
因為平面
所以平面平面13分
5. （ⅰ）由已知可得，，
四邊形是平行四邊形，
1分平面， 平面，
平面2分
又分別是的中點，
3分平面， 平面，
平面4分
平面，平面， ……………5分
平面∥平面6分
(ⅱ) 三稜柱是直三稜柱，
面，又面，
7分 又直三稜柱的所有稜長都相等，是邊中點，
是正三角形8分
而，面 ，面 ，
面9分故10分
四邊形是菱形11分
而，故12分
由麵，面，
得面13分
6. (ⅰ)證明：因為平面平面，，
所以平面2分
所以3分
因為是正方形，
所以，所以平面4分
(ⅱ)證明：設，取中點，鏈結，
所以5分
因為，，所以6分
從而四邊形是平行四邊形7分
因為平面,平面8分
所以平面，即平面9分
（ⅲ）解：因為平面平面，,
所以平面11分
因為, ,，
所以的面積為12分
所以四面體的體積13分
7. 答案：（1）因為e、f分別是ap、ad的中點，
又直線ef//平面pcd
（2）連線bd為正三角形
f是ad的中點，
又平面pad⊥平面abcd，
所以，平面bef⊥平面pad.
8. 解：（i）由條件知pdaq為直角梯形
因為qa⊥平面abcd，所以平面pdaq⊥平面abcd，交線為ad.
又四邊形abcd為正方形，dc⊥ad，所以dc⊥平面pdaq，可得pq⊥dc.
在直角梯形pdaq中可得dq=pq=pd，則pq⊥qd
所以pq⊥平面dcq6分
（ii）設ab=a.
由題設知aq為稜錐q—abcd的高，所以稜錐q—abcd的體積
由（i）知pq為稜錐p—dcq的高，而pq=，△dcq的面積為，
所以稜錐p—dcq的體積為
故稜錐q—abcd的體積與稜錐p—dcq的體積的比值為1.…………12分
9. 1）∵折起前ａｄ是ｂｃ邊上的高，
∴當δａｂｄ折起後，ad⊥ｄｃ，ad⊥ｄｂ，
又dbｄｃ＝ｄ，
∴ａｄ⊥平面ｂｄｃ，又∵ad 平面bdc.
∴平面abd⊥平面bdc．
（2）由（1）知，da, , ,db=da=dc=1， ab=bc=ca=,
∴三稜錐d—ａｂｃ的表面積是
立體幾何證明題 文科
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