高中數學--立體幾何證明題彙總
1、已知正方體，是底對角線的交點.
求證：(１) c1o∥面；(2)面．
證明：（1）鏈結，設，鏈結
∵是正方體是平行四邊形
∴a1c1∥ac且
又分別是的中點，∴o1c1∥ao且
是平行四邊形
面，面 ∴c1o∥面
（2）面
又同理可證， 又
面考點：線面平行的判定（利用平行四邊形），線面垂直的判定
2、正方體中，
求證：（1）；（2）.
考點：線面垂直的判定
3、正方體abcd—a1b1c1d1中．(1)求證：平面a1bd∥平面b1d1c；
(2)若e、f分別是aa1，cc1的中點，求證：平面eb1d1∥平面fbd．
證明：(1)由b1b∥dd1，得四邊形bb1d1d是平行四邊形，∴b1d1∥bd，
又bd 平面b1d1c，b1d1平面b1d1c，
∴bd∥平面b1d1c．
同理a1d∥平面b1d1c．
而a1d∩bd＝d，∴平面a1bd∥平面b1cd．
(2)由bd∥b1d1，得bd∥平面eb1d1．取bb1中點g，∴ae∥b1g．
從而得b1e∥ag，同理gf∥ad．∴ag∥df．∴b1e∥df．∴df∥平面eb1d1．∴平面eb1d1∥平面fbd．
考點：線面平行的判定（利用平行四邊形）
4、四面體中，分別為的中點，且，
，求證：平面
證明：取的中點，鏈結，∵分別為的中點，∴
，又∴，∴在中，
∴，∴，又，即，
∴平面考點：線面垂直的判定,三角形中位線，構造直角三角形
5、如圖是所在平面外一點，平面， 是的中點，是上的點，
（1）求證：；（2）當， 時，求的長。
證明：（1）取的中點，鏈結，∵是的中點，
∴，∵平面，∴ 平面
∴是在平面內的射影 ，取的中點，鏈結，∵∴，又，∴[**:學§科§網]
∴，∴，由三垂線定理得
（2）∵，∴，∴，∵平面.∴，且，∴
考點：三垂線定理
6、如圖，在正方體中，、、分別是、、的中點.求證：平面∥平面.
證明：∵、分別是、的中點， ∥
又平面，平面∥平面
∵四邊形為平行四邊形，∥
又平面，平面∥平面
，平面∥平面
考點：線面平行的判定（利用三角形中位線）
7、如圖，在正方體中，是的中點.
（1）求證：平面；
（2）求證：平面平面.
證明：（1）設，
∵、分別是、的中點， ∥
又平面，平面， ∥平面
（2）∵平面，平面，
又，， 平面，平面，平面平面
考點：線面平行的判定（利用三角形中位線），面面垂直的判定
8、已知是矩形，平面，，，為的中點．
（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成的角．
證明：在中，，
∵平面，平面，
又， 平面
（2）為與平面所成的角
在，，在中，
在中，，
考點：線面垂直的判定,構造直角三角形
9、如圖，在四稜錐中，底面是且邊長為的菱形，側面是等邊三角形，且平面垂直於底面．
（1）若為的中點，求證：平面；
（2）求證：；
（3）求二面角的大小．
證明：（1）為等邊三角形且為的中點，
又平面平面， 平面
（2）是等邊三角形且為的中點，
且，， 平面，
平面，（3）由，∥，
又，∥，
為二面角的平面角
在中，，
考點：線面垂直的判定,構造直角三角形,面面垂直的性質定理，二面角的求法（定義法）
10、如圖1,在正方體中，為的中點，ac交bd於點o，求證：平面mbd．
證明：鏈結mo，，∵db⊥，db⊥ac，，
∴db⊥平面，而平面∴db⊥．
設正方體稜長為，則，．
在rt△中，．∵，∴．
∵om∩db=o，∴⊥平面mbd．
考點：線面垂直的判定，運用勾股定理尋求線線垂直
11、如圖２，在三稜錐ａ－bcd中，bc＝ac，ad＝bd，
作be⊥cd，ｅ為垂足，作ah⊥be於ｈ．求證：ah⊥平面bcd．
證明：取ab的中點ｆ，鏈結cf，df．
∵，∴．
又，∴平面cdf．
∵平面cdf，∴．
又，，∴平面abe，．
∴平面bcd．
考點：線面垂直的判定
12、證明：在正方體abcd－a1b1c1d1中，a1c⊥平面bc1d
證明：鏈結ac
∴ ac為a1c在平面ac上的射影
考點：線面垂直的判定，三垂線定理
13、如圖，過s引三條長度相等但不共面的線段sa、sb、sc，且∠asb=∠asc=60°，∠bsc=90°，求證：平面abc⊥平面bsc．
證明∵sb=sa=sc，∠asb=∠asc=60°∴ab=sa=ac取bc的中點o，連ao、so，則ao⊥bc，so⊥bc，
∴∠aos為二面角的平面角，設sa=sb=sc=a，又∠bsc=90°，∴bc=a，so=a，
ao2=ac2－oc2=a2－a2=a2，∴sa2=ao2+os2，∴∠aos=90°，從而平面abc⊥平面bsc．
考點：面面垂直的判定（證二面角是直二面角）
高三數學立體幾何證明題訓練
1、如圖，在長方體中，，，、分別為、的中點． （ⅰ）求證：平面； （ⅱ）求證：平面．
2、如圖，已知稜柱的底面是菱形，且面，，，為稜的中點，為線段的中點，
（1）求證：面； （2）求證：面；
3、如圖，四稜錐p—abcd中，pa⊥底面abcd，ac⊥cd，∠dac=60°，ab=bc=ac，e是pd的中點，f為ed的中點。 （i）求證：平面pac⊥平面pcd；（ii）求證：
cf//平面bae。
4、如圖，是正四稜柱側稜長為1，底面邊長為2，e是稜bc的中點。
（1）求證：平面；（2）求三稜錐的體積.
5、如圖所示，四稜錐p-abcd底面是直角梯形， 底面abcd，e為pc的中點。pa＝ad＝ab＝1。
（1）證明：（2）證明：（3）求三稜錐b-pdc的體積v。
6、如圖，四稜錐p－abcd中，pa⊥平面abcd，pb與底面所成的角為45，底面abcd為直角梯形，∠abc = ∠bad = 90，pa = bc = ad． (ⅰ)求證：平面pac⊥平面pcd；
(ⅱ)在稜pd上是否存在一點e，使ce∥平面pab ？若存在，請確定e點的位置；若不存在，請說明理由．
7、已知abcd是矩形，，e、f分別是線段ab、bc的中點，面abcd.
(1) 證明：pf⊥fd； (2) 在pa上找一點g，使得eg∥平面pfd.
8、如圖，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直, , ,是線段的中點求三稜錐的體積；
(ⅱ)求證: //平面；
9、如圖，矩形中，，，為上的點，且。 ⅰ）求證：；
（ⅱ）求證；；（ ⅲ）求三稜錐的體積.
10、如圖，四稜錐p—abcd中， pa平面abcd，底面abcd是直角梯形，ab⊥ad，cd⊥ad，cd=2ab，e為pc中點．
() 求證：平面pdc平面pad； () 求證：be//平面pad．
11、如圖，在五面體abcdef中，點o是矩形abcd的對角線的交點，面cde是等邊三角形，稜ef∥bc且ef=bc．（1）證明fo//平面cde； （2）設bc=cd，證明eo⊥平面cdf．
12、如圖，四稜錐p－abcd的底面是正方形，pa⊥底面abcd，pa＝2，∠pda=45°，點e、f分別為稜ab、pd的中點． （ⅰ）求證：af∥平面pce；
（ⅱ）求證：平面pce⊥平面pcd； （ⅲ）求三稜錐c－bep的體積．
13、如圖，在矩形abcd中，沿對角線bd把△bcd折起，使c移到c′，且bc′⊥ac′
（ⅰ）求證：平面ac′d⊥平面abc′；
（ⅱ）若ab=2，bc=1，求三稜錐c′—abd的體積。
14、如圖,在四稜錐中,底面是邊長為的正方形,側面底面，且，若、分別為、的中點。
(ⅰ) //平面； (ⅱ) 求證:平面平面；
高中立體幾何證明方法
一 平行與垂直關係的論證 由判定定理和性質定理構成一套完整的定理體系，在應用中 低一級位置關係判定高一級位置關係 高一級位置關係推出低一級位置關係，前者是判定定理，後者是性質定理。1.線線 線面 面面平行關係的轉化 2.線線 線面 面面垂直關係的轉化 3.平行與垂直關係的轉化 4.應用以上 轉化 的...
立體幾何證明題
1 如圖三稜柱abc a1b1c1中,每個側面都是正方形,d為底邊ab中點,e為側稜cc1中點,ab1與a1b交於點o。i 求證 cd 平面a1eb。ii 求證 平面ab1c 平面a1eb 2 如圖，四稜錐的底面為正方形，側稜底面，且，分別是線段的中點。1 求證 平面 2 求證 平面 3 如圖，四稜...
立體幾何證明題
1.如圖，在直三稜柱abc a1b1c1中，已知 acb 90 m為a1b與ab1的交點，n為稜b1c1的中點，1 求證 mn 平面aa1c1c 2 若ac aa1，求證 mn 平面a1bc.2.如圖，在四稜錐p abcd中，o為ac與bd的交點，ab平面pad，pad是正三角形，dc ab，da ...