證明（三）
【1】主要知識點：
⑴四邊形中基本圖形
⑵梯形問題中作輔助線的常用方法(基本圖形)
⑶菱形的面積公式：s=兩條對角線積的一半。
【2】典型例題分析
例1. 已知：如圖，在□abcd 中，e、f分別為邊ab、cd的中點，bd是對角線，ag∥db交cb的延長線於g． (1) 求證：
△ade≌△cbf； (2) 若四邊形 bedf是菱形，則四邊形agbd是什麼特殊四邊形？並證明你的結論．
例題2.已知：p是正方形abcd對角線bd上一點，pe⊥dc，pf⊥bc，e、f分別為垂足，求證：ap=ef.
例題3.如圖：已知在正方形abcd中，ac、bd交於點o,點e是bo的中點，dgce於點g，交oc於點f. 如果正方形abcd邊長為10㎝.求ef的長.
例4.如圖，菱形abcd，e、f分別為bc、cd上的點，且∠b=∠eaf=60°，若∠bae=20°，求∠cef的度數．
例5. 如圖所示，在中，對角線、交於點，平分的外角，且；求證：
例6 如圖所示，在正方形中，點在上，點在上，，於點；求證：
例7.如圖，在梯形abcd中，ad‖bc， ∠bad=90°，ad+ab=14，（ab>ad）
bd=10， bd =dc，e、f分別是bc、cd上的點，且ce+cf = 4.
(1) 求bc的長；
(2) 設ec的長為x，四邊形aefd的面積為y，求y關於x的函式關係式，並寫出函式的定義域；
（3）在(2)的條件下，如果四邊形aefd的面積等於40，試求ec的長 .
例8..如圖①，在正方形abcd中，點e、f分別為邊bc、cd的中點，af、de相交於點g，則可得結論：①af=de，②af⊥de。(不需要證明)
(1)如圖②，若點e、f不是正方形abcd的邊bc、cd的中點，但滿足ce=df，則上面的結論①、②是否仍然成立？(請直接回答「成立」或「不成立」)
(2)如圖③，若點e、f分別在正方形abcd的邊cb的延長線和dc的延長線上，且ce=df，此時上面的結論①、②是否仍然成立？若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由。
(3)如圖④，在(2)的基礎上，連線ae和ef，若點m、n、p、q分別為ae、ef、fd、ad的中點，請判斷四邊形mnpq是「矩形、菱形、正方形、等腰梯形」中的哪一種？並寫出證明過程。
例9..如圖，在直角梯形abcd中，ad//bc，∠b＝900，ad＝24cm，ab＝8cm，bc＝26cm，動點p從a開始沿ad邊向d以每秒1厘公尺的速度運動，動點q從點c開始沿cb邊向b以每秒3厘公尺的速度運動，p、q分別從a、c同時出發，當其中一點到達端點時，另外一點也隨機停止運動。設運動的時間為t秒。
（1） 當t等於多少時，四邊形pqcd為平行四邊形？
（2） 當t等於多少時，四邊形pqcd變為等腰梯形？
【3】變式訓練：
1．如圖，e為矩形abcd的邊cd上的一點，ab=ae=4，bc=2，則∠bec是度.
2．如圖，p是邊長為2的正方形abcd的邊cd上任意一點，且pe⊥db，垂足為e，pf⊥ca，垂足為f，則pe+pf的長是
3．如圖，等腰梯形abcd中，ab∥dc，ad=bc，對角線ac⊥bd於o，dc=3，ab=8cm，則梯形的高= cm .
4．如圖，梯形abcd中，ad∥bc，對角線ac⊥bd，且ac=5cm，bd=12cm，則該梯形的面積等於cm .
5. 如圖，矩形abcd中，ab=2，ad=3，點m為cd上一動點（與點c不重合），將矩
形沿某一直線對折，使點b與點m重合，摺痕與ad交於點e，與bc交於點f.
（1）寫出圖中全等的三角形（不包括虛線所在三角形）；
（2）設cm=x，ae=y，求y與x之間的函式解析式，並寫出x的取值範圍；
（3）是否存在點m的位置使∠bem=900，若存在，求出x的值；若不存在，說明理由.
6．如圖：已知正方形abcd的邊長為5，e是bc上一點，be : ec=2 : 3,m、n分別在cd、ab上，以m、n為摺痕，使點a與ac上的點e重合.求（1）bn的長（2）s
家庭作業
1．如圖1把乙個長方形紙片沿ef摺疊後，點d、c分別落在d′、c′的位置。
若∠efb =65°，則∠aed′等於
ａ．50° ｂ．55° ｃ．60° ｄ．65°
2.給出下列命題:①四條邊相等的四邊形是正方形；②兩組鄰邊分別相等的四邊形是平行四邊形；③有乙個角是直角的平行四邊形是矩形；④矩形、線段都是軸對稱圖形.其中錯誤命題的個數是
a.1b.2c.3 d.4
3、如圖3，在矩形abcd中，ab=3，ad=4，p是ad上的動點，pe⊥ac於e，pf⊥bd於f，則pe+pf的值為
a. b. c.2d.
8．如圖3，直線l是四邊形abcd的對稱軸，若ab=cd，則下面的結論： ao=co； ab∥cd； ac⊥bd； ab⊥bc。其中正確的結論有
4、如圖，已知四邊形abcd是乙個平行四邊形，則只須補充 -----可判定它是乙個菱形
2. 如圖在正方形abcd中，△pbc、△qcd是兩個等邊三角形，pb與dq交於m，bp與cq交於e，cp與dq交於f.
求證：pm = qm
5.如圖在梯形中，，過對角線的中點作，分別交邊於點，連線．
（1）求證：四邊形是菱形；
（2），若，of：ao=2：5求四邊形的面積
6，.如圖△abc中，∠acb=90度，ac=2，bc=3．d是bc邊上一點，直線de⊥bc於d，交ab於點e，cf//ab交直線de於f．設cd=x．
(1) 當x取何值時，四邊形eacf是菱形？請說明理由；
(2) 當x取何值時，四邊形eacd的面積等於2 ？
證明 三 經典講義
證明 三 主要知識點 一 三角形 按角分三角形 按邊分二 四邊形 1.知識結構如下圖 1 弄清定義及四邊形之間關係圖1 2 四邊形之間關係圖2 2 幾種特殊的四邊形的性質和判定 3 一些定理和推論 三角形中位線定理 三角形的中位線平行於第三邊，且等於第三邊的一半。推論 夾在兩平行線間的平行線段相等。...
證明 三 經典講義
證明 三 主要知識點 一 三角形 按角分三角形 按邊分二 四邊形 1.知識結構如下圖 1 弄清定義及四邊形之間關係圖1 2 四邊形之間關係圖2 2 幾種特殊的四邊形的性質和判定 3 一些定理和推論 三角形中位線定理 三角形的中位線平行於第三邊，且等於第三邊的一半。推論 夾在兩平行線間的平行線段相等。...
證明 三 經典講義 1
證明 三 主要知識點 一 三角形 按角分三角形 按邊分二 四邊形 1.知識結構如下圖 1 弄清定義及四邊形之間關係圖1 2 四邊形之間關係圖2 2 幾種特殊的四邊形的性質和判定 3 一些定理和推論 三角形中位線定理 三角形的中位線平行於第三邊，且等於第三邊的一半。推論 夾在兩平行線間的平行線段相等。...