證明（二）
1．你能證明它們嗎
【知識要點】
1、 證明三角形全等的判定方法(sss,sas,asa,aas,證直角三角形全等除上述外還有hl)及全等三角形的性質是對應邊相等，對應角相等。
2、 等腰三角形的有關知識點。
等邊對等角；等角對等邊；等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。（三線合一）
3、 等邊三角形的有關知識點。
判定：有乙個角等於60°的等腰三角形是等邊三角形；
三條邊都相等的三角形是等邊三角形；
三個角都是60°的三角形是等邊三角形；
有兩個叫是60°的三角形是等邊三角形。
性質：等邊三角形的三邊相等，三個角都是60°。
4、反證法：先假設命題的結論不成立，然後推導出與定義、公理、已證定理或已知條件相矛盾的結果，從而證明命題的結論一定成立。這種證明方法稱為反證法
【例題分析】
例1: 如下圖，在△abc中，∠b=90°，m是ac上任意一點（m與a不重合）md⊥bc，交∠abc的平分線於點d，求證：md=ma.
例2 如右圖，已知△abc和△bde都是等邊三角形，求證：ae=cd.
例3： 如圖：已知ab=ae，bc＝ed，∠b＝∠e，af⊥cd，f為垂足,
求證: ① ac＝ad； ②cf＝df。
例4 如圖1、圖2，△aob，△cod均是等腰直角三角形，∠aob＝∠cod＝90，
（1）在圖1中，ac與bd相等嗎？請說明理由
（2）若△cod繞點o順時針旋轉一定角度後，到達力2的位置，請問ac與bd還相等嗎？為什麼？
例5 如圖，在△abc中，ab=ac、d是ab上一點，e是ac延長線上一點，且ce=bd，鏈結de交bc於f。（1）猜想df與ef的大小關係；（2）請證明你的猜想。
例6 證明：在乙個三角形中至少有兩個角是銳角.
2．直角三角形
【知識要點】
1、直角三角形的有關知識。
直角三角形兩條直角邊的平方和等於斜邊的平方；
如果三角形兩邊的平方和等於第三邊的平方，那麼這個三角形是直角三角形；
在直角三角形中，如果乙個銳角等於30°，那麼它所對的直角邊等於斜邊的一半；
在直角三角形中，斜邊上的中線等於斜邊的一半。
2、互逆命題、互逆定理
在兩個命題中，如果乙個命題的條件和結論分別是另乙個命題的結論和條件，那麼這兩個命題稱為互逆命題，其中乙個命題稱為另乙個命題的逆命題.
如果乙個定理的逆命題經過證明是真命題，那麼它也是乙個定理，這兩個定理稱為互逆定理，其中乙個定理稱為另乙個定理的逆定理.
【例題分析】
例1 ：說出下列命題的逆命題，並判斷每對命題的真假：
（1）四邊形是多邊形；
（2）兩直線平行，同旁內角互補；
（3）如果ab=0,那麼a=0,b=0；
（4）在乙個三角形中有兩個角相等，那麼這兩個角所對的邊相等
例2：如圖，中，，求的長。
例3 ：如圖所示的一塊地，∠adc=90°，ad=12m，cd=9m，ab=39m，bc=36m，求這塊地的面積。
例4：如圖，一架2.5公尺長的梯子ab，斜靠在一豎直的牆ac上，這時梯足b到牆底端c的距離為0.7公尺，如果梯子的頂端沿牆下滑0.4公尺，那麼梯足將向外移多少公尺？
例5 ：如圖2-5所示．在等邊三角形abc中，ae=cd，ad，be交於p點，bq⊥ad於q．求證：bp=2pq．
3.線段的垂直平分線 4.角平分線
【知識要點】
1、 線段的垂直平分線。
線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等；
到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。
三角形三條邊的垂直平分線相交於一點，並且這一點到三個頂點的距離相等。
2、 角平分線。
角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。
在乙個角的內部，且到角的兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上。
三角形三條角平分線相交於一點，並且這一點到三條邊的距離相等。
3、 逆命題、互逆命題的概念，及反證法
如果乙個命題的條件和結論分別是另乙個命題的結論和條件，那麼這兩個命題稱為互逆命題，其中乙個命題稱為另乙個命題的逆命題。
【例題分析】
例1：（1）在△abc中，ab＝ac，ab的垂直平分線交ab於n，交bc的延長線於m，∠a＝，求∠nmb的大小
（2）如果將（1）中∠a的度數改為，其餘條件不變，再求∠nmb的大小
（3）你發現有什麼樣的規律性？試證明之.
（4）將（1）中的∠a改為鈍角，對這個問題規律性的認識是否需要加以修改
例2：在△abc中，ab的中垂線de交ac於f，垂足為d，若ac=6，bc=4，求△bcf的周長。
例3：如圖所示，ac=ad，bc=bd，ab與cd相交於點e。求證：直線ab是線段cd的垂直平分線。
例4：如圖所示，在△abc中，ab=ac，∠bac=1200，d、f分別為ab、ac的中點，，e、g在bc上，bc=15cm，求eg的長度。
例5:：如圖所示，rt△abc中，，d是ab上一點，bd=bc，過d作ab的垂線交ac於點e，cd交be於點f。求證：be垂直平分cd。
例6:：在⊿abc中，點o是ac邊上一動點，過點o作直線mn∥bc，與
∠acb的角平分線交於點e，與∠acb的外角平分線交於點f，求證：oe=of
例7、如圖所示，ab>ac，的平分線與bc的垂直平分線相交於d，自d作於e，，求證：be=cf。
【課後練習】
1、 如圖，在△abc中，ab=ac=bc，ae= cd，ad、be相交於點p，bq⊥ad於q。求證：bp=2pq
2、 如圖，△abc中，ab= ac，p、q、r分別在ab、bc、ac上，且bp=cq，bq=cr。
求證：點q在pr的垂直平分線上。
3、 如圖，△abc中，ad為∠bac的平分線，ad的垂直平分線ef交bc的延長線於點f，連線af。
求證：∠b=∠caf
4、 已知：如圖，ab∥cd，∠bac的角平分線與∠dca的角平分線交於點m，經過m的直線ef與ab垂直，垂足為f，且ef與cd交於e
求證：點m為ef的中點
單元訓練題
一、精心選一選，慧眼識金（每小題3分，共30分）
1．如圖1,某同學把一塊三角形的玻璃打碎成三片,現在他要到玻璃店去配一塊完全一樣形狀的玻璃.那麼最省事的辦法是帶（ ）去配.
a. ① b. ② c. ③ d. ①和②
2．下列說法中，正確的是
a．兩腰對應相等的兩個等腰三角形全等
b．兩角及其夾邊對應相等的兩個三角形全等
c．兩銳角對應相等的兩個直角三角形全等
d．面積相等的兩個三角形全等
3．如圖2，ab⊥cd，△abd、△bce都是等腰三角形，如果cd=8cm，be=3cm，那麼ac長為（ ）.
a．4cmb．5cm c．8cm d． cm
4．如圖3，在等邊中，分別是上的點，且，ad與be相交於點p，則的度數是（ ）.
ab． cd．
5．如圖4，在中，ab=ac，，bd和ce分別是和的平分線，且相交於點p. 在圖4中，等腰三角形（不再新增線段和字母）的個數為（ ）.
a．9個 b．8個 c．7個d．6個
6．如圖5，表示三條相互交叉的公路，現在要建乙個加油站，要求它到三條公路的距離相等，則可供選擇的位址有（ ）.
a．1處 b．2處 c．3處 d．4處
7．如圖6，a、c、e三點在同一條直線上，△dac和△ebc都是
等邊三角形，ae、bd分別與cd、ce交於點m、n，有如下結
論：① △ace≌△dcb；② cm＝**；③ ac＝dn. 其中，正確結論的個數是（ ）.
a．3個 b．2個 c． 1個 d．0個
8．要測量河兩岸相對的兩點a、b的距離，先在ab的垂線bf上取兩點c，d，使cd=bc，再作出bf的垂線de，使a，c，e 在同一條直線上（如圖7），可以證明≌，得ed=ab. 因此，測得de的長就是ab的長，在這裡判定≌的條件是
a．asa b．sas c．sss d．hl
9．如圖8，將長方形abcd沿對角線bd翻摺，點c落在點e的
位置，be交ad於點f.
求證：重疊部分（即）是等腰三角形.
證明：∵四邊形abcd是長方形，∴ad∥bc
又∵與關於bd對稱，
∴. ∴是等腰三角形.
請思考：以上證明過程中，塗黑部分正確的應該依次是以下四項中的哪兩項？（ ）.
①；②；③；④
a．①③ bcd．③④
10.如圖9，已知線段a，h作等腰△abc，使ab＝ac，且
bc＝a，bc邊上的高ad＝h. 張紅的作法是：（1）作線段
bc＝a；（2）作線段bc的垂直平分線mn，mn與bc相
交於點d；（3）在直線mn上擷取線段h；（4）鏈結ab，
ac，則△abc為所求的等腰三角形.
上述作法的四個步驟中，有錯誤的一步你認為是（ ）.
a. （1） b. （2） c. （3） d. （4）
二、細心填一填，一錘定音（每小題3分，共30分）
1．如圖10，已知，在△abc和△dcb中，ac=db，若不增加任何字母與輔助線，要使
△abc≌△dcb，則還需增加乙個條件是
2．如圖11，在中，，分別過點作經過點a的直線的垂線段bd，ce，若bd=3厘公尺，ce=4厘公尺，則de的長為_______.
3．如圖12，p，q是△abc的邊bc上的兩點，且bp＝pq＝qc＝ap＝aq，則∠abc等於_________度.
證明 二 經典講義學生
證明 二 1 等腰三角形 一 主要知識點 1 證明三角形全等的判定方法 sss,sas,asa,aas,證直角三角形全等除上述外還有hl 及全等三角形的性質是對應邊相等，對應角相等。2 等腰三角形的有關知識點。等邊對等角 等角對等邊 等腰三角形頂角的平分線 底邊上的中線 底邊上的高互相重合。三線合一...
證明 三 經典講義
證明 三 主要知識點 一 三角形 按角分三角形 按邊分二 四邊形 1.知識結構如下圖 1 弄清定義及四邊形之間關係圖1 2 四邊形之間關係圖2 2 幾種特殊的四邊形的性質和判定 3 一些定理和推論 三角形中位線定理 三角形的中位線平行於第三邊，且等於第三邊的一半。推論 夾在兩平行線間的平行線段相等。...
證明 三 經典講義
證明 三 1 主要知識點 四邊形中基本圖形 梯形問題中作輔助線的常用方法 基本圖形 菱形的面積公式 s 兩條對角線積的一半。2 典型例題分析 例1.已知 如圖，在 abcd 中，e f分別為邊ab cd的中點，bd是對角線，ag db交cb的延長線於g 1 求證 ade cbf 2 若四邊形 bed...