第一章：證明(二)
考點1：利用定理證明
一、考點講解：
公理1、一直線截兩條平行線所得的同位角相等
公理2．兩條直線被第三條直線所截，若同位角相等，那麼這兩條直線平行．
公理3．若兩個三角形的兩邊及其夾角（或兩角及其夾邊，或三邊）分別相等，則這兩個三角形全等．
公理4．全等三角形的對應邊相等，對應角相等．
定1. 平行線的性質定理：兩直線平行，同位角、內錯角相等，同旁內角互補．
定2．平行線的判定定理：同位角相等，兩直線平行；內錯角相等，兩直線平行；同旁內角互補兩直線平行．
定3．三角形的內角和定理及推論：三角形的內角和等於180°，三角形的外角等於不相鄰的兩個內角的和，三角形的外角大於任何乙個和它不相鄰的內角．
定4．直角三角形全等的判斷定理：有一條直角邊和斜邊對應相等的兩個直角三角形全等．
定5．角平分線性質定理及逆定理：角平分線上的點到角的兩邊的距離相等；到角的兩邊的距離相等的點在這個角的平分線上；三角形的三條角平分線相交於一點（內心）
定6．垂直平分線性質定理及逆定理：線段垂直平分線上的點到兩個端點的距離相等；到線段兩端點的距離相等的點在這條線段的垂直平分線上；三角形的三邊的垂直平分線相交於一點（外心）
定7．三角形的中位線定理：三角形的中位線平行於第三邊，且等於第三邊的一半．
定8、等腰三角形，等邊三角形，直角三角形的性質和判定定理．
二、經典考題剖析：
【1】如圖l－l－1，ab、cd交於點e，ad=ae，cb=ce，f、g、h分別是de、be、ac的中點．
（1）求證：af⊥de；（2）求證：fh= gh．
證明：（1）在△ade中，ad=ae，f是de的中點
∴ af是等腰△ade 底邊de上的中線
∴ af⊥de
（2）鏈結gc．∵af⊥de h是ac 的中點
∴fh是rt△afc斜邊 ac上的中線
∴同理：
∴fh=gh
【2】在△abc中，∠acb=90°，ac=bc，直線mn經過點c，且ad⊥mn於d，be⊥mn於e.
(1)當直線mn繞點c旋轉到圖1的位置時，求證：①△adc≌△ceb；②de=ad+be；
(2)當直線mn繞點c旋轉到圖2的位置時，求證：de=ad-be；
(3)當直線mn繞點c旋轉到圖3的位置時，試問de、ad、be具有怎樣的等量關係？請寫出這個等量關係，並加以證明.
(1) ①∵∠acd=∠acb=90° ∴∠cad+∠acd=90°
∴∠bce+∠acd=90° ∴∠cad=∠bce
∵ac=bcadc≌△ceb
②∵△adc≌△ceb ∴ce=ad，cd=be
∴de=ce+cd=ad+be
(2) ∵∠adc=∠ceb=∠acb=90°∴∠acd=∠cbe
∵ac=bcacd≌△cbe
∴ce=ad，cd=be ∴de=ce-cd=ad-be
(3) 當mn旋轉到圖3的位置時，ad、de、be所滿足的等量關係是de=be-ad(或ad=be-de，be=ad+de等
∵∠adc=∠ceb=∠acb=90° ∴∠acd=∠cbe，
又∵ac=bcacd≌△cbe， ∴ad=ce，cd=be
∴de=cd－ce=be－ad.
三、針對性訓練
1．如圖1－1－4，rt△abc中，ac≠ab，ad是斜邊上的高；de⊥ab，df⊥ac，垂足分別是e、f，則圖中與∠c（除∠c外）相等的角的個數是（ ）
a．2 b．3 c．4 d．5
2．如圖1－1－5，△abc中，△abc和△acb的外角平分線交於點o，設∠boc=α，則∠a等於（）
3．如圖1－1－6，△abc是不等邊三角形，de=bc，以d、e為兩個頂點作位置不同的三角形，使所作三角形與△abc全等，這樣的三角形最多可作出（ ）
a．2個 b．4個 c．6個 d．8個
4．如圖1－1－7，△abc是直角三角形，bc是斜邊，△abp繞點a逆時針旋轉後，能與△acp重合， 如果ap=3，那麼pp′的長等於（ ）
a．3 b．2 c．3 d．4
5．如圖1－1－8，在rt△abc中，∠bca=90°，點d、e、f分別是三邊的中點，且cf=2 cm，則de=________cm．
6、如圖1－1－9，在△abc和△def中，已知ab=de，要使△abc≌△def，根據三角形全等的判定定理，還需新增條件填上你認為正確的一種）．
7．在方格紙上有乙個△abc，它的頂點位置如圖 1－1－10所示，則這個三角形是________三角形．
8．如圖1－1－1 所示，把△abc繞點c順時針旋轉35°，得δa′b′c′交ac於點d，若∠a′dc=90o，則∠a
9．如圖1－l－12，△abc中，ab=ac，de是ab的中垂線，△bce的周長為14，bc=6，則ab長為
10 如圖1－1－13，在△abc中，∠bac=90 在，延長 ba 到d，使ad=ab，點e、f分別為邊bc、ac的中點．（1）求證：df=be；（2）過點a作ag∥bc，交 df於點 g，求證：ag=dg．
考點2：命題
一、考點講解：
1．命題的組成：命題由條件和結論兩部分組成．
2．命題的形式：命題的形式通常寫成「如果……，那麼……」的形式．
3．真命題與假命題：正確的命題稱為真命題，錯誤的命題稱為假命題
（注意：乙個命題是真命題，它的逆命題不一定是真命題〕
二、經典考題剖析：
【1】請用「如果…，那麼……」的形式寫乙個命題
解：此題答案不唯一，是開放性題目，如可寫成：如果兩個角是對頂角，那麼這兩個角相等．
【2】如圖1－1－14，下面四個條件中，請你以其中兩個為已知條件，第三
個為結論，推出乙個正確的命題
（只需寫出一種情況）
1 ae=ad ②ab=ac
③ob=oc ④∠b=∠c
點撥：解答本題時，可選取以上三種情況中的一種即可，注意：已知兩邊和其中一邊的對角分別相等的兩個三角形不一定全等．
【3】下列命題中，假命題是（ ）
a．平行四邊形的對角線互相平分
b．矩形的對角線相等
c．等腰梯形的對角線相等
d．菱形的對角線相等且互相平分
解: d 點撥：當菱形為正方形時，其對角線才有相等的性質，而一般菱形不具有對角線相等的性質．
三、針對性訓練
1．下列命題中，真命題是（ ）
a．面積相等的兩個三角形是全等三角形
b．有兩邊及一組對應角相等的兩個三角形全等
c．全等三角形的周長相等
d．有一條直角邊對應相等的兩個三角形全等
2．下列命題中正確的是（ ）
a．實數是有理數
b．無限小數是無理數
c．數軸上的點與有理數一一對應
d．數軸上的點與實數一一對應
3．下列命題為假命題的是（ ）
a．等腰三角形的兩腰相等
b．等腰三角形的兩底角相等
c．等腰三角形底邊上的中線與底邊上的高重合
d．等腰三角形是中心對稱圖形
4．下列的真命題中，它的逆命題也是真命題的是（）
a．全等三角形的對應角相等
b．兩個圖形關於軸對稱，則兩個圖形是全等形
c．等邊三角形是銳角三角形
d．直角三角形中，如果一銳角等於30°，那麼它所對的直角邊等於斜邊的一半.
5．如圖1－1－15，在△abc中，cd⊥ ab，請你新增乙個條件，寫出乙個正確的結論（不在圖中新增輔助線）
條件結論6．將命題「同角的餘角相等」改寫成「如果…，那
麼…」的形式是
7．如圖1－1－16，在△abc中，點d、e分別在邊ab、ac上，給出5個論斷：①cd⊥ab；②be⊥ac；③ae=ce；④∠abe＝30°；⑤cd=be
⑴如果論斷①、②、③、④都成立，那麼論斷⑤一定成立嗎？答
⑵從論斷①、②、③、④中選取3個作為條件，將
論斷⑤作為結論，組成乙個真命題，那麼你選的3個論斷是只需填論斷的序號）
⑶用⑵中你選的3個論斷作為條件，論斷⑤作為結論，組成一道證明題，畫出圖形，寫出已知、求證，並加以證明．
考點3：尺規作圖
一、考點講解：
1．五種基本作圖：作一條線段等於已知線段；作乙個角等於已知角；作角的平分線；作線段的垂直平分線；作三角形．
2．尺規作圖要求：了解尺規作圖的步驟，會寫已知、求作和作法（不要求證明）．
二、經典考題剖析：
【1】如圖1－l－17，已知△abc，
（1）作∠b的角平分線（要求：用尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法和證明)
（2）若∠c=90○，∠b=60○，bc=4，∠b的平分
線交ac於點d，請求出線段bd的長．
解：（1）如圖1－1－18，bd為∠abc的角平分線；
（2）因為bd為∠abc的平分線，∠abc=60○．
所以∠cbd=30○．又∠c=90○，所以 bd=2cd，設 cd=x，則bd=2x．而bc=4，所以（2x）2－x2 =42所以x=,所以bd=2×=點撥：求bd的長，也可利用三角函式知識求解．
三、針對性訓練：
1．利用基本作圖，不能作出唯一三角形的是（ ）
a．已知三邊 b．已知兩邊及夾角
c．已知兩角及夾邊 d.已知兩邊及其中一邊的對角
2．用尺規作圖，不能作出唯一直角三角形的是（ ）
九年級數學上證明二
二 三 部分訓練題一 1.如圖，a d f b在同一直線上，ad bf,ae bc,且 ae bc.求證 1 aef bcd 2 ef cd.證明 1 因為ae bc,所以 a b.又因ad bf,所以af ad df bf fd bd 又因ae bc,所以 aef bcd.2 因為 aef bcd...
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