證明（二）
1．等腰三角形
一、主要知識點
1、 證明三角形全等的判定方法(sss,sas,asa,aas,證直角三角形全等除上述外還有hl)及全等三角形的性質是對應邊相等，對應角相等。
2、 等腰三角形的有關知識點。
等邊對等角；等角對等邊；等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。（三線合一）
3、 等邊三角形的有關知識點。
判定：有乙個角等於60°的等腰三角形是等邊三角形；
三條邊都相等的三角形是等邊三角形；
三個角都是60°的三角形是等邊三角形；
有兩個叫是60°的三角形是等邊三角形。
性質：等邊三角形的三邊相等，三個角都是60°。
4、反證法：先假設命題的結論不成立，然後推導出與定義、公理、已證定理或已知條件相矛盾的結果，從而證明命題的結論一定成立。這種證明方法稱為反證法
一、填空題
1、已知，等腰△abc，ab=ac：
（1）若ab=bc，則△abc為_________三角形；
（2）若∠a=60°，則△abc為_______三角形；
（3）若∠b=60°，則△abc為_______三角形.
2、**段、直角、等腰三角形、直角三角形中，成軸對稱圖形的是
3、底與腰不等的等腰三角形有條對稱軸，等邊三角形有條對稱軸.請你在圖（1）中作出等腰△abc，等邊△def的對稱軸.
4圖5圖6圖
4、如圖上右圖，已知△abc是等邊三角形，ad∥bc，cd⊥ad，垂足為d，e為ac的中點，ad=de=6cm
則∠acd=_____°,ac=______cm,∠dacade是______三角形.
5、如左下圖，△abc是等邊三角形，ad⊥bc，de⊥ab，垂足分別為d，e，如果ab=8 cm，則bd=_______cm，∠bde=_____°,be=______cm.
6、如右上圖，rt△abc中，∠a=30°,ab+bc=12 cm，則abcm.
二、選擇題
7、下列說法不正確的是 （ ）
a.等邊三角形有三條對稱軸 b.線段ab只有一條對稱軸
c.等腰三角形的對稱軸是底邊上的中線 d.等腰三角形的對稱軸是底邊上的高所在的直線
8、下列命題不正確的是 （ ）
a.等腰三角形的底角不能是鈍角 b.等腰三角形不能是直角三角形
c.若乙個三角形有三條對稱軸，那麼它一定是等邊三角形
d.兩個全等的且有乙個銳角為30°的直角三角形可以拼成乙個等邊三角形
9、在rt△abc中，如右圖所示，∠c=90°，∠cab=60°，ad平分∠cab，點d到ab的距離de=3.8 cm，則bc等於 （ ）
a.3.8 cm b.7.6 cm
c.11.4 cm d.11.2 cm
三、解答與證明
10、如下圖，在△abc中，∠a=20°，d在ab上，ad=dc，∠acd∶
∠bcd=2∶3，求：∠abc的度數.
11、如下圖，在△abc中，∠b=90°，m是ac上任意一點（m與a不重合）md⊥bc，交∠bac的平分線於點d，求證：md=ma.
12、如右圖，已知△abc和△bde都是等邊三角形，求證：ae=cd.
2．直角三角形
一、主要知識點
1、直角三角形的有關知識。
直角三角形兩條直角邊的平方和等於斜邊的平方；
如果三角形兩邊的平方和等於第三邊的平方，那麼這個三角形是直角三角形；
在直角三角形中，如果乙個銳角等於30°，那麼它所對的直角邊等於斜邊的一半；
在直角三角形中，斜邊上的中線等於斜邊的一半。
2、互逆命題、互逆定理
在兩個命題中，如果乙個命題的條件和結論分別是另乙個命題的結論和條件，那麼這兩個命題稱為互逆命題，其中乙個命題稱為另乙個命題的逆命題.
如果乙個定理的逆命題經過證明是真命題，那麼它也是乙個定理，這兩個定理稱為互逆定理，其中乙個定理稱為另乙個定理的逆定理.
二、典型例題分析
例1 ：說出下列命題的逆命題，並判斷每對命題的真假：
（1）四邊形是多邊形；
（2）兩直線平行，同旁內角互補；
（3）如果ab=0,那麼a=0,b=0；
（4）在乙個三角形中有兩個角相等，那麼這兩個角所對的邊相等
一、填空題
1、如圖，rt△abc和rt△def，∠c=∠f=90
（1）若∠a=∠d，bc=ef，則rt△abc≌rt△def的依據是
（2）若∠a=∠d，ac=df，則rt△abc≌rt△def的依據是
（3）若∠a=∠d，ab=de，則rt△abc≌rt△def的依據是
（4）若ac=df，ab=de，則rt△abc≌rt△def的依據是
（5）若ac=df，cb=fe，則rt△abc≌rt△def的依據是
2、如右圖，在rt△abc和rt△dcb中，ab=dc，∠a=∠d=90°，ac與bd交於點o，則有其判定依據是還有其判定依據是
3、已知：如圖下左圖，ae⊥bc，df⊥bc，垂足分別為e，f，ae=df，ab=dc，則hl）.
4、已知：如上中圖，be，cf為△abc的高，且be=cf，be，cf交於點h，若bc=10，fc=8，則ec
5、已知：如上右圖，ab=cd，de⊥ac於e，bf⊥ac於f，且de=bf，∠d=60°，則∠a=______°.
二、選擇題
6、如下左圖，o是∠bac內一點，且點o到ab，ac的距離oe=of，則△aeo≌△afo的依據是( )
7、在rt△abc和rt△a′b′c′中，∠c=∠c′=90°，如上右圖，那麼下列各條件中，不能使rt△abc≌rt△a′b′c′的是( )
8、下列條件不可以判定兩個直角三角形全等的是( )
a.兩條直角邊對應相等面 b.有兩條邊對應相等
c.一條邊和一銳角對應相等 d.一條邊和乙個角對應相等
三、證明題
9、如下圖，cd⊥ad，cb⊥ab，ab=ad，求證：cd=cb.
10、已知：如下圖，cd、c′d′分別是rt△abc，rt△a′b′c′斜邊上的高，且cb=
c′b′，cd=c′d′.求證：△abc≌△a′b′c′.
11、如下圖，已知∠abc=∠adc=90°，e是ac上一點，ab=ad，求證：eb=ed.
3.線段的垂直平分線
一、主要知識點
1、 線段的垂直平分線。
線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等；
到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。
三角形三條邊的垂直平分線相交於一點，並且這一點到三個頂點的距離相等。
2、 角平分線。
角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。
在乙個角的內部，且到角的兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上。
三角形三條角平分線相交於一點，並且這一點到三條邊的距離相等。
3、 逆命題、互逆命題的概念，及反證法
如果乙個命題的條件和結論分別是另乙個命題的結論和條件，那麼這兩個命題稱為互逆命題，其中乙個命題稱為另乙個命題的逆命題。
一、判斷題
1、三角形三條邊的垂直平分線必交於一點 （ ）
2、以三角形兩邊的垂直平分線的交點為圓心，以該點到三角形三個頂點中的任意一點的距離為半徑作圓，必經過另外兩個頂點
3、平面上只存在一點到已知三角形三個頂點距離相等 （ ）
4、三角形關於任一邊上的垂直平分線成軸對稱 （ ）
二、填空題
5、如圖，點p為△abc三邊中垂線交點，則papbpc.
5圖6圖7圖8圖
6、如圖，在銳角三角形abc中，∠a=50°，ac、bc的垂直平分線交於點o，則∠1_______∠2，∠3______∠4，∠5______∠6，∠2+∠3=________度，∠1+∠4=______度，∠5+∠6=_______度，∠boc=_______度.
7、如圖，d為bc邊上一點，且bc=bd+ad，則addc，點d在的垂直平分線上.
8、如圖，在△abc中，de、fg分別是邊ab、ac的垂直平分線，則∠b1，∠c2；若∠bac=126°，則∠eag度.
9、如左下圖，ad是△abc中bc邊上的高，e是ad上異於a，d的點，若be=ce，則hl)；從而bd=dc，則sas)；△abc是三角形.
10、如右上圖，∠bac=120°，ab=ac，ac的垂直平分線交bc於d，則∠adb=_______度.
三、作圖題
11、（1）分別作出點p，使得pa=pb=pc
（2）觀察各圖中的點p與△abc的位置關係，並總結規律：
當△abc為銳角三角形時，點p在△abc的
當△abc為直角三角形時，點p在△abc的
當△abc為鈍角三角形時，點p在△abc的
反之也成立，且在平面內到三角形各頂點距離相等的點只有乙個.
證明二經典講義
證明 二 1 你能證明它們嗎 知識要點 1 證明三角形全等的判定方法 sss,sas,asa,aas,證直角三角形全等除上述外還有hl 及全等三角形的性質是對應邊相等，對應角相等。2 等腰三角形的有關知識點。等邊對等角 等角對等邊 等腰三角形頂角的平分線 底邊上的中線 底邊上的高互相重合。三線合一 ...
21 3二次根式中的經典題型 講義學生版
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