證明（三）
主要知識點：
一、三角形
按角分三角形
按邊分二、四邊形
1. 知識結構如下圖
（1）弄清定義及四邊形之間關係圖1：
（2）四邊形之間關係圖2：
2、幾種特殊的四邊形的性質和判定：
3、一些定理和推論：
三角形中位線定理：三角形的中位線平行於第三邊，且等於第三邊的一半。
推論：夾在兩平行線間的平行線段相等。
推論：直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半
推論：如果乙個三角形一邊上的中線等於這邊的一半，那麼這個三角形是直角三角形。
4、一些思想方法：
⑴方程思想：運用方程思想將乙個幾何問題化為乙個方程的求解問題。
⑵化歸思想方法：解四邊形問題時，常通過輔助線把四邊形問題轉化歸為三角形問題來解決。梯形問題化為三角形、平行四邊形來解決。
⑶分解圖形法:複雜的圖形都是由簡單的基本圖形組成，故可將複雜圖形分解成幾個基本圖形，從而使問題簡單化。
⑷構造圖形法：當直接證明題目有困難時，常通過新增輔助線構造基本圖形以達到解題的目的。
⑸解證明題的基本方法：①從已知條件出發探索解題途徑的綜合法；②從結論出發，不斷尋找使結論成立的條件，直至已知條件的分析法；③兩頭湊的方法，就是綜合運用以上兩種方法找到證明的思路（又叫分析—綜合法）。
⑹轉化思想：就是將複雜問題轉化，分解為簡單的問題，或將陌生的問題轉化成熟悉的問題來處理的一種思想。
5、注意：
⑴四邊形中基本圖形
⑵梯形問題中作輔助線的常用方法(基本圖形)
⑶菱形的面積公式：s=兩條對角線積的一半。
典型例題分析
例1. 已知：如圖，在□abcd 中，e、f分別為邊ab、cd的中點，bd是對角線，ag∥db交cb的延長線於g． (1) 求證：
△ade≌△cbf； (2) 若四邊形 bedf是菱形，則四邊形agbd是什麼特殊四邊形？並證明你的結論．
例題2.已知：p是正方形abcd對角線bd上一點，pe⊥dc，pf⊥bc，e、f分別為垂足，求證：ap=ef.
例題3.如圖：已知在正方形abcd中，ac、bd交於點o,點e是bo的中點，dgce於點g，
交oc於點f. 如果正方形abcd邊長為10㎝.求ef的長.
例4.如圖，菱形abcd，e、f分別為bc、cd上的點，且∠b=∠eaf=60°，若∠bae=20°，求∠cef的度數．
例5. 如圖所示，在中，對角線、交於點，平分的外角，且；求證：
例6.如圖所示,為的邊的垂直平分線上一點,且的延長線分別交、於點、,；求證：
例7. 如圖所示，在正方形中，點在上，點在上，，於點；求證：
例8.如圖，在梯形abcd中，ad‖bc， ∠bad=90°，ad+ab=14，（ab>ad）
bd=10， bd =dc，e、f分別是bc、cd上的點，且ce+cf = 4.
(1) 求bc的長；
(2) 設ec的長為x，四邊形aefd的面積為y，求y關於x的函式關係式，並寫出函式的定義域；
（3）在(2)的條件下，如果四邊形aefd的面積等於40，試求ec的長 .
訓練題一：
一、 填空題
1．如圖，e為矩形abcd的邊cd上的一點，ab=ae=4，bc=2，則∠bec是度.
2．如圖，p是邊長為2的正方形abcd的邊cd上任意一點，且pe⊥db，垂足為e，pf⊥ca，垂足為f，則pe+pf的長是
3．如圖，等腰梯形abcd中，ab∥dc，ad=bc，對角線ac⊥bd於o，dc=3，ab=8cm，則梯形的高= cm .
4．如圖，梯形abcd中，ad∥bc，對角線ac⊥bd，且ac=5cm，bd=12cm，則該梯形的中位線的長等於cm .
5．如圖，矩形內有兩個相鄰的正方形，面積分別為4和2，
那麼陰影部分的面積為
6．等腰三角形的兩邊長為6㎝、8㎝, 則這個等腰三角形的周長為
7．梯形上、下底的比是a : b（a8．已知在abc中，m為bc邊上的中線的長，ab=8，ac=6，那麼m的取值範圍是________.
9．等腰三角形一腰上的中線把這個三角形的周長分成15㎝和17㎝兩部分，那麼此三角形的底邊長是________㎝
二、選擇題(前四題為單選,其餘為多選)
1. 如圖，o為□abcd對角線ac、bd的交點，ef經過點o，且與邊ad、bc分別交於點e、f．若bf＝de，則圖中的全等三角形最多有（ ）
a. 2對 b. 3對 c. 5對 d. 6對
2. 已知：如圖，梯形abcd中，ad∥bc，∠b＝45°，∠c＝120°，
ab＝8，則cd的長為
a. b.
c. d.
3. 直角梯形abcd中，ad∥bc，ab⊥bc，e是cd中點，且ab=ad+bc，則△abe是
a. 直角三角形 b. 等腰三角形 c. 等腰直角三角形 d. 等邊三角形
4. 在□abcd中，ab＝6，ad＝8，∠b是銳角，將△acd沿對角線ac摺疊，點d落在△abc所在平面內的點e處．若ae過bc的中點，則□abcd的面積等於
a. 48 b. c. d.
5．下列各組長度的線段中，可以組成三角形的是（ ）
a．6 , 2 , 7 b．6 , 2 , 8 c．5 , 6 , 7 d．6 , 2 , 10
6.如圖，把直角三角形紙片，沿過頂點b的直線be摺疊，直角頂點c落在ab上。如果eba是等腰三角形，那麼下列結論正確的是
ab.點c與ab中點重合
c. 點e到ab的距離等於ce的長 d.ab=ae
7.下列命題中，正確的是（ ）
a.直角三角形中斜邊上的中線等於斜邊的一半
b.等腰三角形的角平分線與高及中線互相重合
c.兩個成軸對稱的圖形一定全等
d.圓既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形
8.如圖，點c是內一點，且ca=cb.下面說法正確的是
a.點c在的角平分線上
b.點c**段ab的垂直平分線上
c.oc是ab的垂直平分線
d.oc是mon的角平分線
9.如圖：已知在中,ab=ac, ,直角的頂點p是bc的中點,兩邊pe、pf分別交ab、ac於點e、f,當在內繞頂點p旋轉時（點e不與a、b重合）,下列結論始終正確的是（ ）
a.ae=cf b.是等腰三角形
c.s= d.ef=ap
三、證明題
1．如圖：在梯形abcd中，ab//cd，中位線ef=7㎝,對角線acbd, =30,求梯形的高ah.
2．如圖：已知在平行四邊形abcd中,於點e,be:ec=1:3,點f、g、h分別是ab、ae、cd的中點,ef=5,gh=21 求（1）ad的長 （2）梯形aecd的面積
3. 如圖，矩形abcd中，ab=2，ad=3，點m為cd上一動點（與點c不重合），將矩
形沿某一直線對折，使點b與點m重合，摺痕與ad交於點e，與bc交於點f.
（1）寫出圖中全等的三角形（不包括虛線所在三角形）；
（2）設cm=x，ae=y，求y與x之間的函式解析式，並寫出x的取值範圍；
（3）是否存在點m的位置使∠bem=900，若存在，求出x的值；若不存在，說明理由.
訓練題二
1如圖1，已知bd是平行四邊形abcd的對角線，點e、f在bd上，要使四邊形aecf是平行四邊形，還需要增加的乙個條件是________(填上乙個即可)。
2.如圖2：四邊形abcd是正方形， abe是等邊三角形，點e在正方形外部，那麼aed=_______度。
3如圖3：在rtabc中， =90，bd平分abc交ac於d，de是斜邊ab的垂直平分線，且de=1㎝，則ac
4.如圖4：在abc中，有一正方形decf，如果ad=29㎝，db=19㎝，那麼s+s
(圖1圖2圖3圖4)
5. 下列圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是
a. 等邊三角形 b. 平行四邊形 c. 等腰梯形 d. 矩形
6. 已知菱形的邊長為6，乙個內角為60°，則菱形較短的對角線是
a. b. c. 3 d. 6
5 已知：如圖，在正方形abcd中，ac、bd相交於點o，e、f分別在ob、oc上，且oe=of. 求證：ae⊥bf.
證明 三 經典講義
證明 三 主要知識點 一 三角形 按角分三角形 按邊分二 四邊形 1.知識結構如下圖 1 弄清定義及四邊形之間關係圖1 2 四邊形之間關係圖2 2 幾種特殊的四邊形的性質和判定 3 一些定理和推論 三角形中位線定理 三角形的中位線平行於第三邊，且等於第三邊的一半。推論 夾在兩平行線間的平行線段相等。...
證明 三 經典講義
證明 三 1 主要知識點 四邊形中基本圖形 梯形問題中作輔助線的常用方法 基本圖形 菱形的面積公式 s 兩條對角線積的一半。2 典型例題分析 例1.已知 如圖，在 abcd 中，e f分別為邊ab cd的中點，bd是對角線，ag db交cb的延長線於g 1 求證 ade cbf 2 若四邊形 bed...
證明 三 經典講義
證明 三 主要知識點 一 三角形 按角分三角形 按邊分二 四邊形 1.知識結構如下圖 1 弄清定義及四邊形之間關係圖1 2 四邊形之間關係圖2 2 幾種特殊的四邊形的性質和判定 3 一些定理和推論 三角形中位線定理 三角形的中位線平行於第三邊，且等於第三邊的一半。推論 夾在兩平行線間的平行線段相等。...