一、 導數的定義及運用 f(x)=
例1．設函式f(x)在處可導，則等於
a． b． c． d．
二、導數與切線： y=f(x)上一點m（x0,y0）處的切線
（1）斜率k=f/(x0) (2) y0=f(x0) (3) m（x0,y0）在切線上
例2．（理）設，則它與x軸交點處的切線的方程為
（文）p是拋物線上的點，若過點p的切線方程與直線垂直，則過p點處的切線方程是
三、導數與單調性、極值
(1).k=>0對應的區間為f(x)的單調增區間；
（2）.k=<0對應的區間為f(x)的單調減區間；
(3).k==0解得的x=x0可能是極值
例3．((理)函式y=x-sinx,的最大值是( c )
a. -1 b. -1 c. d. +1
(文).為上為增函式,則a的取值範圍為
例是否有極值?
例5．已知函式，其導函式的圖象如右圖，則：( c )
a．在(-，0)上為減函式
b．在x=0處取得最大值
c．在（4，+）上為減函式
d．在x=2處取得最小值
[思路分析]：由導函式的性質知，遞增，遞減。從影象上知，當x>4時，，∴在（4，+）上遞減。
[命題分析]：考查導數的性質，函式的極值與最值，及觀察影象的能力
例6．函式的定義域為開區間，導函式在內的圖象如圖所示，則函式在開區間內有極小值點（ a ）
a．1個
b．2個
c．3個
d． 4個
四.含引數的導數問題
(一).利用極值時及(2) y0=f(x0)往往可以求出引數
例7.已知函式在點處取得極大值，其導函式的圖象經過點，，如圖所示.求：
（ⅰ）的值；
（ⅱ）的值.
（ⅰ）=1; （ⅱ）.
例8.已知函式f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－與x＝1時都取得極值
（1） 求a、b的值與函式f（x）的單調區間
（2） 若對x〔－1，2〕，不等式f（x）c2恆成立，求c的取值範圍。
解：（1）f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，f（x）＝3x2＋2ax＋b
由f（）＝，f（1）＝3＋2a＋b＝0得
a＝，b＝－2
f（x）＝3x2－x－2＝（3x＋2）（x－1），函式f（x）的單調區間如下表：
所以函式f（x）的遞增區間是（－，－）與（1，＋）
遞減區間是（－，1）
（2）f（x）＝x3－x2－2x＋c，x〔－1，2〕，當x＝－時，f（x）＝＋c
為極大值，而f（2）＝2＋c，則f（2）＝2＋c為最大值。
要使f（x）c2（x〔－1，2〕）恆成立，只需c2f（2）＝2＋c
解得c－1或c2
(二).根據單調性求引數範圍或分類討論引數來判斷單調區間或極值
例9. 已知函式 y=x3+ax2+bx 在[0，2]上為單調遞增，在[2，3]上單調遞減，b的範圍
例10．已知函式，其中為引數，且．
（1）當時，判斷函式是否有極值；
（2）要使函式的極小值大於零，求引數的取值範圍；
無極值；
例11. 已知向量在區間（－1，1）上是增函式，求t的取值範圍.
解：依定義
故要使在區間（－1，1）上恆成立
(三)導論極值及根的存在情況
例12.（1）求函式y=x3-3ax+2(a>0)
的極值.
（2）研究方程x3-3ax+2=0 (a>0)
何時有三個不同的實根？何時有唯一的根
練習題：
1．函式f(x)=x4-x在點p處的切線平行於直線3x-y=0,則點p的座標為（ d ）
a. (1,3) b. (1,-3) c. d.(1,0)
2.(理)函式f(x)=x-ex在點p處的切線平行於x軸，則點p的座標為（ d ）
a. (1.1-e) b.(1,e) c.(0,e) d.(0,-1)
3.若f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1既有極大值又有極小值，則a的取值範圍是（c）
a.或b. >2或a<-1 d.
4.已知是r上的單調增函式，則b的取值範圍是（d）
<-1或b>2 b.或 c.-15．f(x)=|3x－x3|在[－2，2]上的最大值是 2 .
6．設函式在定義域內的導函式為，的圖象如圖1所示，則的圖象可能為 （ ）
7．設函式．
（1） 求的單調區間；
（2） 若當時，不等式恆成立，求實數m的取值範圍；
7．（1）函式的定義域為．．
由得或．由得或．
故增區間為，，減區間為，．
（2）由得或．由（1）知在上遞減，在上遞增．∵，且，∴時，．故時，不等式恆成立．
8．設函式
（1）用a表示；
（2）若f(x)的圖象上有兩條與y軸垂直的切線，求實數a的取值範圍；
（3）當a=2時，求f(x)在[0，3]上的最大值與小值.
8．解：（1）f′(x)=x2－(3a－1)x+2a2－f′(2a)
則f′(2a)=4a2－6a2+2a+2a2－f′(2a) 得f′(2a)=a
（2）由（1）得f′(x)=x2－(3a－1)x+2a2－a
由題可知x2－(3a－1)x+2a2－a=0有兩個不相等的實數根
3a－1)2－4(2a2－a)=(a－1)2>0a≠1
（3）a=2 f(x)= x3－x2+6x+5 f′(x)=(x－2)(x－3) f′(x)=0x1=2 x2=3
∴fmax(x)=f(2)= fmix(x)=f(0)=5
9．設函式f(x)＝的圖象關於原點對稱,且f(x)的圖象在點p（1,m）處的切線的斜率為－6,且當x＝2時,f(x)有極值.
（1） 求a,b,c,d的值；
（2） 若x1,x2∈［－1,1］時,求證：｜f(x1)－f(x2)｜≤.
9．解：（1）∵的圖象關於原點對稱,
∴∴∴∴∴
（2）由（1）∴當－1≤x≤1時,
∴函式f(x)在［－1,1］上是減函式,∴f(－1)≥≥f(1),
即≤≤,∴｜｜≤,同理｜｜≤,
∴≤得證.
10．已知,試問：是否存在實數,使上是減函式,且在（－1,0）上是增函式.
10．解：假設存在實數滿足題設.
,則x＝0.
當x∈（－∞,0）時,當x∈（0,＋∞）時,
∴在(－∞,0)上單調增遞減,在（0,＋∞）上單調遞增,顯然不符合題設.
若,則x＝0或,當時,
當時,當時,
當時,∴的單調增區間是
單調減區間是
要使上是減函式,且在（－1,0）上是增函式,則,即
故存在實數使f（x）在（－∞,－1）上是減函式,且在（－1,0）上是增函式.
11．已知函式，
（1）求曲線的平行於直線的切線方程；
（2）若函式在上有最大值3，求常數的值及此此函式的最小值。
（1）（1分）設所求切線的切點為，則其斜率為（2分）或（3分）
當時切點為，切線方程為當時切點為，切線方程為即（5分）
（2）函式的導數為（6分）令有或（7分）的符號和的單調性和極值如下表：
…………（10分）
由此可知故，當時取最小的值（12分）
12．已知當x≥1時，不等式xlnx≥k(x－1)恆成立，求實數k的取值範圍.
解：設當
（i）當k≤1時，單調遞增.
因為f (1) = 0，所以當x≥1時，f (x)≥0，即x lnx≥k (x－1)
（ii）當k＞1時，由f′(x) = 0，得lnx = k－1，即x = ek－1.
當時，f (x)<0，
即，不合題意.綜上所述，k的取值範圍是
13．已知函式，，
（1）證明：當時，恒有
（2）當時，不等式恆成立，求實數k的取值範圍;
解：（1）設，則= ，……2分
當時，，所以函式在（0，單調遞增，又
在處連續，所以，即，
所以。……4分 （2）設，
則在（0，恆大於0，，
，……6分
的根為0和
即在區間（0，上，的根為0和
若，則在單調遞減，
且，與在（0， 恆大於0矛盾；
若，在（0，單調遞增，
且，滿足題設條件，所以，所以……
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