導數的經典複習
一、求切線、極值等問題：
1．已知函式與函式．⑴若，的圖象在點處有公共的切線，求實數的值；⑵設，求函式的極值．
1【解析】 ⑴因為，，
所以點同時在函式，的圖象上
因為，，，，
由已知，得，所以，即
⑵因為（
所以當時，因為，且所以對恆成立，
所以在上單調遞增，無極值
當時，令，解得，（舍）
所以當時，，的變化情況如下表：
所以當時，取得極小值，且
．綜上，當時，函式在上無極值；
當時，函式在處取得極小值．
二、求函式的單調性，最值問題
2．已知函式，⑴若曲線在點處的切線與直線平行，求的值；⑵求函式的單調區間和極值；⑶當，且時，證明：．
1【解析】 ⑴函式的定義域為，所以，
又曲線在點處的切線與直線平行，
所以，即．
⑵令得．
當變化時，，的變化情況如下表：
由表可知：的單調遞增區間是，單調遞減區間是
所以在處取得極大值，．
⑶當時，，
由於，要證，只需證明，
令，則，
因為，所以，故在上單調遞增，
當，，即成立．
故當時，有，即．
3．已知函式，．
⑴若曲線在點處的切線與直線垂直，求的值；
⑵求函式的單調區間；
⑶當，且時，證明：．
1【解析】 ⑴函式的定義域為，．
又曲線在點處的切線與直線垂直，
所以，即．
⑵由於．
當時，對於，有在定義域上恆成立，
即在上是增函式．
當時，由，得．
當時，，單調遞增；
當時，，單調遞減．
⑶當時，，．令．．
當時，，在單調遞減．
又，所以在恒為負．
所以當時，．
即．故當，且時，成立．
4．已知函式
⑴若為的極值點，求的值；
⑵若的圖象在點處的切線方程為，求在區間上的最大值；
⑶當時，若在區間上不單調，求的取值範圍．
【解析】 ⑴
∵是的極值點，
∴，即，解得或2．
⑵∵在上．∴
∵在上，∴
又，∴∴，解得
∴由可知和是的極值點．
∵∴在區間上的最大值為8．
⑶因為函式在區間不單調，所以函式在上存在零點．
而的兩根為，，區間長為，
∴在區間上不可能有2個零點．
所以，即．
∵，∴．
又∵，∴．
5．已知函式．
⑴若，求曲線在點處的切線方程；
⑵若函式在其定義域內為增函式，求正實數的取值範圍；
【解析】 ⑴當時，函式，．
，曲線在點處的切線的斜率為．
從而曲線在點處的切線方程為，
即．⑵．
令，要使在定義域內是增函式，只需在內恆成立．
由題意，的圖象為開口向上的拋物線，對稱軸方程為，∴，
只需，即時，
∴在內為增函式，正實數的取值範圍是．
6．已知函式，其中a為常數，且.
（ⅰ）若，求函式的極值點；
（ⅱ）若函式在區間上單調遞減，求實數a的取值範圍.
解法一：（ⅰ）依題意得，所以1分
令，得2分
隨x的變化情況入下表：
………………………4分
由上表可知，是函式的極小值點，是函式的極大值點.
………………………5分
6分由函式在區間上單調遞減可知：對任意恆成立，
7分 當時，，顯然對任意恆成立8分
當時，等價於，
因為，不等式等價於,
9分 令，
則，在上顯然有恆成立，所以函式在單調遞增，
所以在上的最小值為11分
由於對任意恆成立等價於對任意恆成立，
需且只需，即，解得，因為，所以.
綜合上述，若函式在區間上單調遞減，則實數a的取值範圍為.
13分7．已知函式．
(ⅰ) 若函式在上為單調增函式，求的取值範圍；
(ⅱ) 設，，且，求證：．
8．已知函式.
（ⅰ）當a=0時，求函式f(x)的影象在點a(1,f(1))處的切線方程；
（ⅱ）若f(x)在r上單調，求a的取值範圍；
（ⅲ）當時，求函式f(x)的極小值。
解:（ⅰ）當a=0時，,………………2分
,,∴函式f(x)的影象在點a(1,f(1))處的切線方程為y-3e=5e(x-1),
即5ex-y-2e=04分
（ⅱ）,
考慮到恆成立且係數為正，
∴f(x)在r上單調等價於恒成立.
∴(a+2)2-4(a+2)0,
∴-2a2 ， 即a 的取值範圍是[-2，28分
（若得a的取值範圍是（-2，2），可扣1分）
（ⅲ）當時, ,
10分令，得，或x=1，
令，得，或x>1，
令，得12分
x,,f(x)的變化情況如下表
所以，函式f(x)的極小值為f(114分
9．已知函式，（為自然對數的底數）．
（ⅰ）求函式的遞增區間；
（ⅱ）當時，過點作曲線的兩條切線，設兩切點為
，，求證：．
解：（ⅰ）函式的定義域是．
.當時，由，解得；
當時，由，解得；
當時，由，解得，或．
所以當時，函式的遞增區間是；
當時，函式的遞增區間是；
當時，函式的遞增區間是8分
（ⅱ）因為，所以以為切點的切線的斜率為； 以為切點的切線的斜率為．
又因為切線過點，
所以；.
解得， ，. 則.
由已知所以， ．
10．已知函式,其中為大於零的常數.
（i）若曲線在點（1，）處的切線與直線平行，求的值；
（ii）求函式在區間[1，2]上的最小值.
解4分 （i）因為曲線在點（1，）處的切線與直線平行，
所以，即6分
(ii)當時，在（1，2）上恆成立，
這時在[1，2]上為增函式
8分 當時，由得，
對於有在[1，a]上為減函式，
對於有在[a，2]上為增函式，
11分當時，在（1，2）上恆成立，
這時在[1，2]上為減函式，
.綜上，在[1，2]上的最小值為
①當時，,
②當時，，
③當時13分
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