函式的單調性就是隨著x的變大，y在變大就是增函式，y變小就是減函式，具有這樣的性質就說函式具有單調性，符號表示：就是定義域內的任意取x1，x2，且x1＜x2，比較f（x1），f（x2）的大小,影象上看從左往右看影象在一直上公升或下降的就是單調函式 （或f(x1)一般的，求函式單調性有如下幾個步驟：
1、取值x1,x2屬於定義域，並使x12、作差f(x1)-f(x2)
3、變形
4、定號（判斷f(x1)-f(x2)的正負）
5、下結論，若f(x1)>f(x2),則函式在上單調遞減，若f(x1)
一、 函式單調性的判別法
引例：（1）在內單增，當時，。
（2）在內單減，當時，。
定理1：設函式在上連續，在內可導；
（1）如果在內，則函式在上單調增加；
（2）如果在內，則函式在上單調減少；
推論1：設函式在上連續，在內可導；
（1）如果在內，則函式在上嚴格單調增加；
（2）如果在內，則函式在上嚴格單調減少；
二、函式的極值及其求法
（一） 引例
討論函式在點、的附近的單調性，
（二） 函式極值的概念
定義：設函式在點的某鄰域內有定義，如果對，恒有（或），則稱為函式的乙個極大值（或極小值），稱為函式的極大值（或極小值）
注：（1）函式極值是乙個區域性概念，只是將函式在某一點處的函式值與其鄰域的函式值進行比較；而極小值並不一定小於極大值。
（三） 函式取得極值的充分必要條件
由引例1知函式在點、處取得極值，而該函式在這些點處的導數為零或導數不存在。
1、 必要條件
定理1：設函式在點處可導，且在點處取得極值，那末該函式在點處的導數為零，即。
注：（1）稱使得函式的導數為零的點為函式的駐點。
（2）定理1表明可導函式的極值點一定是駐點。但函式的駐點不一定是函式的極值點，不是函式的駐點的點也可能是函式的極值點。
2、 第一充分條件
定理2：設函式在點連續，且在點的某去心鄰域內可導。
（1） 若當時，有；而當時，有。則函式在點處取得極大值。
（2） 若當時，有；而當時，有。則函式在點處取得極小值。
（3） 如果當時，有（或），則函式在
點處沒有極值。
3、 第二充分條件
定理3：設函式在點處二階可導，且，；
那麼（1）當時，函式在點處取得極大值，
（2）當時，函式在點處取得極小值。
注：（1）定理2、定理3的條件都是充分的。
（2）對定理3，若時，則不能利用定理進行判別，此時函式在點處可能取得極值，也可能沒有極值。
如：，。
4、求函式極值的步驟
（1） 求出函式的定義域，
（2） 正確求出，找出的全部駐點及使不存在的點，
（3） 確定在上述這些點兩側的符號，
（4） 判別函式的單調區間及極值點，並指出極大值和極小值。
例2：求下列函式的極值
（1） （2）
（3）二次函式:一般地，我們把形如y=ax^2+bx+c（其中a，b，c是常數，a≠0）的函式叫做二次函式（quadratic function）。在這個式子中，稱a為二次項係數，b為一次項係數，c為常數項。
x為自變數，y為因變數。等號右邊是整式，自變數的最高次數是2。 注意：
「變數」不同於「未知數」，不能說「二次函式是指未知數的最高次數為二次的多項式函式」。「未知數」只是乙個數（具體值未知，但是只取乙個值），「變數」可在一定範圍內任意取值。在方程中適用「未知數」的概念（函式方程、微分方程中是未知函式，但不論是未知數還是未知函式，一般都表示乙個數或函式——也會遇到特殊情況），但是函式中的字母表示的是變數，意義已經有所不同。
從函式的定義也可看出二者的差別。
二次函式的解法
一、函式上的三個點
可設函式為y=ax^2+bx+c（a≠0），把三個點代入式子得出乙個三元一次方程組，就能解出a、b、c的值。
二、知道函式圖象與x軸的交點座標及另一點函式上的點可設函式為y=a(x-x)(x-x)，把第乙個交點的x值代入x中，第二個交點的x值代入x中，把另一點的值代入x、y中求出a。
三、韋達定理解方程
設ax^2+bx+c=0 (a≠0 且△=b^2-4ac≥0)
兩個根為x和x
則x+x= -b/a
x·x=c/a
例：已知頂點(1,2)和另一任意點(3,10)，設y=a(x-1)^2+2,把（3，10）代入上式，解得y=2(x-1)^2+2
四、牛頓插值公式y=(y(x-x)(x-x))/((x-x)(x-x)+(y(x-x)(x-x))/((x-x)(x-x)+(y(x-x)(x-x))/((x-x)(x-x)。由此可引導出交點式的係數a=y/(x·x)(y為截距) 二次函式表示式的右邊通常為二次三項式。
一般式 y=ax^2+bx+c(a≠0,a、b、c為常數)，頂點座標為（-b/2a,(4ac-b^2)/4a)
頂點式 y=a(x-h)^2+k(a≠0,a、h、k為常數),頂點座標為（h,k）對稱軸為x=h，頂點的位置特徵和影象的開口方向與函式y=ax^2的影象相同，有時題目會指出讓你用配方法把一般式化成頂點式。
交點式 y=a(x-x)(x-x) (a≠0) [僅限於與x軸即y=0有交點a（x，0）和 b（x，0）的拋物線，即b^2-4ac≥0]
由一般式變為交點式的步驟：
二次函式(16張)
∵x+x=-b/a x1·x=c/a
∴y=ax^2+bx+c
=a（x+b/ax+c/a）
=a[﹙x-(x+x)x+xx]=a(x-x)(x-x)
重要概念：a，b，c為常數，a≠0，且a決定函式的開口方向。a>0時，開口方向向上；a<0時，開口方向向下。
a的絕對值可以決定開口大小。a的絕對值越大開口就越小，a的絕對值越小開口就越大。
與x軸交點
當△=b^2-4ac>0時，函式影象與x軸有兩個交點。
當△=b^2-4ac=0時，函式影象與x軸有乙個交點。
當△=b^2-4ac<0時，函式影象與x軸沒有交點。
求根公式
求根公式
x是自變數，y是因變數，y是x的二次函式
x1,2=[-b±(√(b^2-4ac)]/2a
(即一元二次方程求根公式）（如右圖）
求根的方法還有因式分解法和配方法
影象 在平面直角座標系中作出二次函式y=ax^2+bx+c的影象，
可以看出，二次函式的影象是一條永無止境的拋物線。 如果所畫圖形準確無誤，那麼二次函式影象將是由一般式平移得到的。
注意：草圖要有 :
1. 本身影象，旁邊註明函式。
2. 畫出對稱軸，並註明直線x=什麼 （x= -b/2a）
3. 與x軸交點座標 （x1,y1);(x2, y2)，與y軸交點座標(0,c)，頂點座標(-b/2a, (4ac-b^2/4a).
軸對稱 1.二次函式影象是軸對稱圖形。對稱軸為直線x = h或者x=-b/2a
對稱軸與二次函式影象唯一的交點為二次函式影象的頂點p。
特別地，當h=0時，二次函式影象的對稱軸是y軸（即直線x=0）
a,b同號，對稱軸在y軸左側
b=0,對稱軸是y軸
a,b異號，對稱軸在y軸右側
頂點 二次函式影象有乙個頂點p，座標為p ( h,k )
當h=0時，p在y軸上；當k=0時，p在x軸上。即可表示為頂點式y=a(x-h)²;+k
h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a
開口 二次項係數a決定二次函式影象的開口方向和大小。
當a>0時，二次函式影象向上開口；當a<0時，拋物線向下開口。
|a|越大，則二次函式影象的開口越小。
決定對稱軸位置的因素
一次項係數b和二次項係數a共同決定對稱軸的位置。
當a>0,與b同號時（即ab>0），對稱軸在y軸左； 因為對稱軸在左邊則對稱軸小於0，也就是- b/2a<0,所以 b/2a要大於0，所以a、b要同號
當a>0,與b異號時（即ab<0），對稱軸在y軸右。因為對稱軸在右邊則對稱軸要大於0，也就是- b/2a>0, 所以b/2a要小於0，所以a、b要異號
可簡單記憶為同左異右，即當a與b同號時（即ab>0），對稱軸在y軸左；當a與b異號時（即ab<0 ），對稱軸在y軸右。
事實上，b有其自身的幾何意義：二次函式影象與y軸的交點處的該二次函式影象切線的函式解析式（一次函式）的
斜率k的值。可通過對二次函式求導得到。
決定與y軸交點的因素
常數項c決定二次函式影象與y軸交點。
二次函式影象與y軸交於（0,c）
注意：頂點座標為（h,k) 與y軸交於（0,c)
與x軸交點個數
a<0;k>0或a>0;k<0時，二次函式影象與x軸有2個交點。
k=0時，二次函式影象與x軸有1個交點。
a<0;k<0或a>0,k>0時，二次函式影象與x軸無交點。
當a>0時，函式在x=h處取得最小值ymix=k，在xh範圍內是增函式（即y隨x的變大而變小），二次函式影象的開口向上，函式的值域是y>k
當a<0時，函式在x=h處取得最大值ymix=k，在x>h範圍內是增函式，在x 當h=0時，拋物線的對稱軸是y軸，這時，函式是偶函式
特殊值的形式
7.特殊值的形式
①當x=1時 y=a+ah2+2ah+k
②當x=-1時 y=a+ah2-2ah+k
③當x=2時 y=4a+ah2+8ah+k
④當x=-2時 y=4a+ah2-8ah+k
二次函式的性質
8.定義域：r
值域：（對應解析式，且只討論a大於0的情況，a小於0的情況請讀者自行推斷）①[(4ac-b^2)/4a，正無窮）；②[t，正無窮）
奇偶性：當b=0時為偶函式，當b≠0時為非奇非偶函式 。
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