集合與簡易邏輯
基本概念、公式及方法是數學解題的基礎工具和基本技能,為此作為臨考前的高三學生,務必首先要掌握高中數學中的概念、公式及基本解題方法,其次要熟悉一些基本題型,明確解題中的易誤點,還應了解一些常用結論,最後還要掌握一些的應試技巧。本資料對高中數學所涉及到的概念、公式、常見題型、常用方法和結論及解題中的易誤點,按章節進行了系統的整理,最後闡述了考試中的一些常用技巧,相信通過對本資料的認真研讀,一定能大幅度地提公升高考數學成績。
1.集合元素具有確定性、無序性和互異性. 在求有關集合問題時,尤其要注意元素的互異性,如(1)設p、q為兩個非空實數集合,定義集合p+q=,若,,則p+q中元素的有________個。
(答:8)(2)設,, ,那麼點的充要條件是________(答:);(3)非空集合,且滿足「若,則」,這樣的共有_____個(答:
7)2.遇到時,你是否注意到「極端」情況:或;同樣當時,你是否忘記的情形?要注意到是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。如集合,,且,則實數=______.(答:)
3.對於含有個元素的有限集合,其子集、真子集、非空子集、非空真子集的個數依次為如滿足集合m有______個。 (答:7)
4.集合的運算性質: ⑴; ⑵;⑶
; ⑷; ⑸; ⑹
;⑺.如設全集,若,,,則a=_____,b=___.(答:,)
5. 研究集合問題,一定要理解集合的意義――抓住集合的代表元素。如:
—函式的定義域;—函式的值域;—函式圖象上的點集,如(1)設集合,集合n=,則___(答:);(2)設集合,,
,則_____(答:)
6. 數軸和韋恩圖是進行交、並、補運算的有力工具,在具體計算時不要忘了集合本身和空集這兩種特殊情況,補集思想常運用於解決否定型或正面較複雜的有關問題。如已知函式在區間上至少存在乙個實數,使,求實數的取值範圍。
(答:)
7.復合命題真假的判斷。「或命題」的真假特點是「一真即真,要假全假」;「且命題」的真假特點是「一假即假,要真全真」;「非命題」的真假特點是「真假相反」。
如在下列說法中:⑴「且」為真是「或」為真的充分不必要條件;⑵「且」為假是「或」為真的充分不必要條件;⑶「或」為真是「非」為假的必要不充分條件;⑷「非」為真是「且」為假的必要不充分條件。其中正確的是答:
⑴⑶)8.四種命題及其相互關係。若原命題是「若p則q」,則逆命題為「若q則p」;否命題為「若﹁p 則﹁q」 ;逆否命題為「若﹁q 則﹁p」。
提醒:(1)互為逆否關係的命題是等價命題,即原命題與逆否命題同真、同假;逆命題與否命題同真同假。但原命題與逆命題、否命題都不等價;(2)在寫出乙個含有「或」、「且」命題的否命題時,要注意「非或即且,非且即或」;(3)要注意區別「否命題」與「命題的否定」:
否命題要對命題的條件和結論都否定,而命題的否定僅對命題的結論否定;(4)對於條件或結論是不等關係或否定式的命題,一般利用等價關係「」判斷其真假,這也是反證法的理論依據。(5)哪些命題宜用反證法?如(1)「在△abc中,若∠c=900,則∠a、∠b都是銳角」的否命題為答:
在中,若,則不都是銳角);(2)已知函式,證明方程沒有負數根。
9.充要條件。關鍵是分清條件和結論(劃主謂賓),由條件可推出結論,條件是結論成立的充分條件;由結論可推出條件,則條件是結論成立的必要條件。
從集合角度解釋,若,則a是b的充分條件;若,則a是b的必要條件;若a=b,則a是b的充要條件。如(1)給出下列命題:①實數是直線與平行的充要條件;②若是成立的充要條件;③已知,「若,則或」的逆否命題是「若或則」;④「若和都是偶數,則是偶數」的否命題是假命題 。
其中正確命題的序號是_______(答:①④);(2)設命題p:;命題q:。
若┐p是┐q的必要而不充分的條件,則實數a的取值範圍是答:)
10. 一元一次不等式的解法:通過去分母、去括號、移項、合併同類項等步驟化為的形式,若,則;若,則;若,則當時,;當時,。
如已知關於的不等式的解集為,則關於的不等式的解集為_______(答:)
11. 一元二次不等式的解集(聯絡圖象)。尤其當和時的解集你會正確表示嗎?設,是方程的兩實根,且,則其解集如下表:
如解關於的不等式:。(答:當時,;當時,或;當時,;當時,;當時,)
12. 對於方程有實數解的問題。首先要討論最高次項係數是否為0,其次若,則一定有。
對於多項式方程、不等式、函式的最高次項中含有引數時,你是否注意到同樣的情形?如:(1)對一切恆成立,則的取值範圍是_______(答:
);(2)關於的方程有解的條件是什麼?(答:,其中為的值域),特別地,若在內有兩個不等的實根滿足等式,則實數的範圍是_______.
(答:)
13.一元二次方程根的分布理論。方程在上有兩根、在上有兩根、在和上各有一根的充要條件分別是什麼?
(、、)。根的分布理論成立的前提是開區間,若在閉區間討論方程有實數解的情況,可先利用在開區間上實根分布的情況,得出結果,再令和檢查端點的情況.如實係數方程的一根大於0且小於1,另一根大於1且小於2,則的取值範圍是答:(,1))
14.二次方程、二次不等式、二次函式間的聯絡你了解了嗎?二次方程的兩個根即為二次不等式的解集的端點值,也是二次函式的圖象與軸的交點的橫座標。
如(1)不等式的解集是,則答:);(2)若關於的不等式的解集為,其中,則關於的不等式的解集為________(答:);(3)不等式對恆成立,則實數的取值範圍是_______(答:
)。高中數學知識點總結
1. 對於集合,一定要抓住集合的代表元素,及元素的「確定性、互異性、無序性」。
中元素各表示什麼?
注重借助於數軸和文氏**集合問題。
空集是一切集合的子集,是一切非空集合的真子集。
3. 注意下列性質:
(3)德摩根定律:
4. 你會用補集思想解決問題嗎?(排除法、間接法)
的取值範圍。
6. 命題的四種形式及其相互關係是什麼?
(互為逆否關係的命題是等價命題。)
原命題與逆否命題同真、同假;逆命題與否命題同真同假。
7. 對對映的概念了解嗎?對映f:a→b,是否注意到a中元素的任意性和b中與之對應元素的唯一性,哪幾種對應能構成對映?
(一對一,多對一,允許b中有元素無原象。)
8. 函式的三要素是什麼?如何比較兩個函式是否相同?
(定義域、對應法則、值域)
9. 求函式的定義域有哪些常見型別?
10. 如何求復合函式的定義域?
義域是11. 求乙個函式的解析式或乙個函式的反函式時,註明函式的定義域了嗎?
12. 反函式存在的條件是什麼?
(一一對應函式)
求反函式的步驟掌握了嗎?
(①反解x;②互換x、y;③註明定義域)
13. 反函式的性質有哪些?
①互為反函式的圖象關於直線y=x對稱;
②儲存了原來函式的單調性、奇函式性;
14. 如何用定義證明函式的單調性?
(取值、作差、判正負)
如何判斷復合函式的單調性?
∴……)
15. 如何利用導數判斷函式的單調性?
值是( )
a. 0b. 1c. 2d. 3
∴a的最大值為3)
16. 函式f(x)具有奇偶性的必要(非充分)條件是什麼?
(f(x)定義域關於原點對稱)
注意如下結論:
(1)在公共定義域內:兩個奇函式的乘積是偶函式;兩個偶函式的乘積是偶函式;乙個偶函式與奇函式的乘積是奇函式。
17. 你熟悉週期函式的定義嗎?
函式,t是乙個週期。)
如:18. 你掌握常用的圖象變換了嗎?
注意如下「翻摺」變換:
19. 你熟練掌握常用函式的圖象和性質了嗎?
的雙曲線。
應用:①「三個二次」(二次函式、二次方程、二次不等式)的關係——二次方程
②求閉區間[m,n]上的最值。
③求區間定(動),對稱軸動(定)的最值問題。
④一元二次方程根的分布問題。
由圖象記性質注意底數的限定!)
利用它的單調性求最值與利用均值不等式求最值的區別是什麼?
20. 你在基本運算上常出現錯誤嗎?
21. 如何解抽象函式問題?
(賦值法、結構變換法)
22. 掌握求函式值域的常用方法了嗎?
(二次函式法(配方法),反函式法,換元法,均值定理法,判別式法,利用函式單調性法,導數法等。)
如求下列函式的最值:
23. 你記得弧度的定義嗎?能寫出圓心角為α,半徑為r的弧長公式和扇形面積公式嗎?
24. 熟記三角函式的定義,單位圓中三角函式線的定義
25. 你能迅速畫出正弦、余弦、正切函式的圖象嗎?並由圖象寫出單調區間、對稱點、對稱軸嗎?
(x,y)作圖象。
27. 在三角函式中求乙個角時要注意兩個方面——先求出某乙個三角函式值,再判定角的範圍。
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