高中數學知識梳理總匯
第一部分集合與函式
1、在集合運算中一定要分清代表元的含義.
[舉例1]已知集，求.
2、空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集.
[舉例]若且，求的取值範圍.
3、充要條件的判定可利用集合包含思想判定：若，則a是b的充分條件；若，則a是b的必要條件；若且即，則a是b的充要條件.有時利用「原命題」與「逆否命題」等價，「逆命題」與「否命題」等價轉換去判定也很方便.
充要條件的問題要十分細心地去辨析：「哪個命題」是「哪個命題」的充分（必要）條件；注意區分：「甲是乙的充分條件（甲乙）」與「甲的充分條件是乙（乙甲）」，是兩種不同形式的問題.
［舉例］設有集合，則點的＿＿＿＿＿＿＿條件是點；點是點的＿＿＿＿＿＿＿條件.
4、掌握命題的四種不同表達形式，會進行命題之間的轉化，會正確找出命題的條件與結論.能根據條件與結論判斷出命題的真假.
［舉例］命題：「若兩個實數的積是有理數，則此兩實數都是有理數」的否命題是它是＿＿＿＿（填真或假）命題.
5、若函式的影象關於直線對稱，則有或等，反之亦然.注意：兩個不同函式影象之間的對稱問題不同於函式自身的對稱問題.
函式的影象關於直線的對稱曲線是函式的影象，函式的影象關於點的對稱曲線是函式的影象.
[舉例1]若函式是偶函式，則的影象關於＿＿＿＿＿＿對稱.
[舉例2]若函式滿足對於任意的有，且當時，則當時＿＿＿＿＿＿＿＿.
6、若函式滿足：則是以為週期的函式.注意：不要和對稱性相混淆.若函式滿足：則是以為週期的函式.（注意：若函式滿足，則也是週期函式）
［舉例］已知函式滿足：對於任意的有成立，且當時，，則＿＿＿＿＿＿.
7、奇函式對定義域內的任意滿足；偶函式對定義域內的任意滿足.注意：使用函式奇偶性的定**題時，得到的是關於變數的恒等式而不是方程.
奇函式的影象關於原點對稱,偶函式影象關於y軸對稱；若函式是奇函式或偶函式，則此函式的定義域必關於原點對稱；反之，若一函式的定義域不關於原點對稱，則該函式既非奇函式也非偶函式.若是奇函式且存在，則；反之不然.
［舉例1］若函式是奇函式，則實數＿＿＿＿＿＿＿；
[舉例2]若函式是定義在區間上的偶函式，則此函式的值域是
8、奇函式在關於原點對稱的區間內增減性一致，偶函式在關於原點對稱的區間內增減性相反.若函式的影象關於直線對稱，則它在對稱軸的兩側的增減性相反；此時函式值的大小取決於變數離對稱軸的遠近.解「抽象不等式（即函式不等式）」多用函式的單調性，但必須注意定義域.
［舉例］若函式是定義在區間上的偶函式，且在上單調遞增，若實數滿足：，求的取值範圍.
9、要掌握函式影象幾種變換：對稱變換、翻摺變換、平移變換.會根據函式的影象，作出函式的影象.（注意：影象變換的本質在於變數對應關係的變換）；要特別關注的影象.
［舉例］函式的單調遞增區間為
10、研究方程根的個數、超越方程（不等式）的解（特別是含有參量的）、二次方程根的分布、二次函式的值域、三角函式的性質（包括值域）、含有絕對值的函式及分段函式的性質（包括值域）等問題常利用函式影象來解決.但必須注意的是作出的圖形要盡可能準確：即找準特殊的點（函式影象與座標軸的交點、拐點、極值點等）、遞增遞減的區間、最值等.
［舉例1］已知函式，若不等式的解集不為空集，則實數的取值範圍是
[舉例2]若曲線與直線沒有公共點，則應當滿足的條件是 .
11、曲線可以作為函式影象的充要條件是：曲線與任何平行於y軸的直線至多只有乙個交點.
乙個函式存在反函式的充要條件是：定義域與值域中元素須一一對應，反應在影象上平行於軸的直線與影象至多有乙個交點.單調函式必存在反函式嗎？
（是的,並且任何函式在它的每乙個單調區間內總有反函式）.還應注意的是：有反函式的函式不一定是單調函式，你能舉例嗎？
［舉例］函式，（），若此函式存在反函式，則實數的取值範圍是
12、求乙個函式的反函式必須標明反函式的定義域，反函式的定義域不能單從反函式的表示式上求解，而是求原函式的值域.求反函式的表示式的過程就是解（關於的）方程的過程.注意：
函式的反函式是唯一的，尤其在開平方過程中一定要注意正負號的確定.
［舉例］函式的反函式為
13、原函式的定義域是反函式的值域，原函式的值域是反函式的定義域；原函式與反函式的影象關於直線對稱；若函式的定義域為a，值域為c，,則有..需要特別注意一些復合函式的反函式問題.如反函式不是.
［舉例1］已知函式的反函式是，則函式的反函式的表示式是
[舉例2]已知，若，則＿＿＿＿.
14、判斷函式的單調性可用有關單調性的性質（如復合函式的單調性），但證明函式單調性只能用定義，不能用關於單調性的任何性質，用定義證明函式單調性的關鍵步驟往往是因式分解.記住並會證明：函式的單調性.
[舉例]函式在上是單調增函式，求實數的取值範圍.
15、一元二次函式是最基本的初等函式，要熟練掌握一元二次函式的有關性質.一元二次函式在閉區間上一定存在最大值與最小值，應會結合二次函式的影象求最值.
［舉例］求函式在區間的最值..
16、一元二次函式、一元二次不等式、一元二次方程是不可分割的三個知識點.解一元二次不等式是「利用一元二次方程的根、結合一元二次函式的影象、寫出一元二次不等式的解集」，可以將一元二次不等式的問題化歸為一元二次方程來求解.特別對於含參一元二次不等式的討論比較方便.
還應當注意的是；不等式解集區間的端點值是對應方程的根（或增根）.
[舉例1]已知關於的不等式的解集是，則實數的值為 .
［舉例2］解關於的不等式：.
第二部分不等式
17、基本不等式要記住等號成立的條件與的取值範圍.「一正、二定、三相等」，「積定和有最小值、和定積有最大值」，利用基本不等式求最值時要考慮到等號是否成立.與函式相關的應用題多有基本不等式的應用.
［舉例］已知正數滿足，則的最小值為＿＿＿＿＿＿.
18、學會運用基本不等式：.
［舉例1］若關於的不等式的解集是r，則實數的取值範圍是＿＿；
[舉例2]若關於的不等式的解集不是空集，則實數的取值範圍是＿.
19、解分式不等式不能輕易去分母，通常採用：移項（化一邊為零）→通分→轉化為整式不等式→化所有因式中的變數係數為正，（即不等式兩邊同除以變數係數，若它的符號不能確定即需要討論）→「序軸標根」（注意比較各個根的大小，不能比較時即需要討論）；解絕對值不等式的關鍵是「去絕對值」，通常有①利用絕對值不等式的性質②平方③討論.特別注意：
求乙個變數的範圍時，若分段討論的也是這個變數，結果要「歸併」.
［舉例］解關於的不等式：.
20、求最值的常用方法：①用基本不等式（注意條件：一正、二定、三相等）；②方程有解法③單調性；④換元法；一般而言：
在用基本不等式求最值因「不相等」而受阻時，常用函式的單調性；求二次函式（自變數受限制）的值域，先配方、再利用影象、單調性等；求分式函式的值域（自變數沒有限制）常用「逆求」（即判別式法）；求分式函式的值域（自變數受限制）通常分子、分母同除乙個式子，變分子（分母）為常數.
［舉例1］已知函式的最大值不大於，又當時，，求實數的值.
[舉例2]求函式在區間上的最大值與最小值.
21、遇到含參不等式（或含參方程）求其中某個引數的取值範圍通常採用分離引數法，轉化為求某函式的最大值（或最小值）；但是若該引數分離不出來（或很難分離），那麼也可以整體研究函式的最值.特別注意：雙變數問題在求解過程中應把已知範圍的變數作為主變數，另乙個作為引數.
［舉例］已知不等式對於）恆成立，求實數的取值範圍.
第三部分三角函式
22、若，則；角的終邊越「靠近」軸時，角的正弦、正切的絕對值就較大，角的終邊「靠近」軸時，角的余弦、餘切的絕對值就較大.
［舉例1］已知，若，則的取值範圍是＿＿＿＿＿＿＿.
［舉例2］方程的解的個數為＿＿＿＿個.
23、求某個角或比較兩角的大小：通常是求該角的某個三角函式值（或比較兩個角的三角函式值的大小），然後再定區間、求角（或根據三角函式的單調性比較出兩個角的大小）.比如：
由未必有；由同樣未必有；兩個角的三角函式值相等，這兩個角未必相等，如；則；或；若，則；若，則.
［舉例1］已知都是第一象限的角，則「」是「」的――（ ）
a、充分不必要條件；b、必要不充分條件；c、充要條件；d、既不充分又不必要條件.
［舉例2］已知，則「」是「」的―――（ ）
a、充分不必要條件；b、必要不充分條件；c、充要條件；d、既不充分又不必要條件.
24、已知乙個角的某一三角函式值求其它三角函式值或角的大小，一定要根據角的範圍來確定；能熟練掌握由的值求的值的操作程式；給（乙個角的三角函式）值求（另乙個三角函式）值的問題，一般要用「給值」的角表示「求值」的角，再用兩角和（差）的三角公式求得.
［舉例1］已知是第二象限的角，且，利用表示＿＿＿＿＿；
［舉例2］已知，求的值.
25、欲求三角函式的週期、最值、單調區間等，應注意運用二倍角正（餘）弦公式，半形公式降次即：；引入輔助角（特別注意，經常弄錯）使用兩角和、差的正弦、余弦公式（合二為一），將所給的三角函式式化為的形式.函式的週期是函式週期的一半.
［舉例］函式的最小正週期為＿＿＿＿＿；最大值為＿＿；單調遞增區間為＿＿＿＿＿＿＿；在區間上，方程的解集為＿
26、當自變數的取值受限制時，求函式的值域，應先確定的取值範圍，再利用三角函式的影象或單調性來確定的取值範圍，並注意a的正負；千萬不能把取值範圍的兩端點代入表示式求得.
［舉例］已知函式，求的最大值與最小值.
27、三角形中邊角運算時通常利用正弦定理、餘弦定理轉化為角（或邊）處理.有關的齊次式（等式或不等式），可以直接用正弦定理轉化為三角式；當知道△abc三邊平方的和差關係，常聯想到餘弦定理解題；正弦定理應記為（其中r是△abc外接圓半徑.
［舉例］在△abc中，分別是對邊的長.已知成等比數列，且，求的大小及的值.
28、在△abc中：；，
，，等常用的結論須記住.三角形三內角a、b、c成等差數列，當且僅當.
［舉例1］在△abc中，若，則△abc的形狀一定是――――（ ）
a、等腰直角三角形； b、直角三角形； c、等腰三角形； d、等邊三角形.
29、這三者之間的關係雖然沒有列入同角三角比的基本關係式，但是它們在求值過程中經常會用到，要能熟練地掌握它們之間的關係式：.求值時能根據角的範圍進行正確的取捨.
［舉例1］關於的方程有實數根，求實數的取值範圍.
［舉例2］已知且，則＿＿＿＿＿.
30、正（餘）弦函式影象的對稱軸是平行於軸且過函式影象的最高點或最低點，兩相鄰對稱軸之間的距離是半個週期；正（餘）弦函式影象的對稱中心是影象與「平衡軸」的交點，兩相鄰對稱中心之間的距離也是半個週期.
高三數學知識點總結
集合與簡易邏輯 基本概念 公式及方法是數學解題的基礎工具和基本技能，為此作為臨考前的高三學生，務必首先要掌握高中數學中的概念 公式及基本解題方法，其次要熟悉一些基本題型，明確解題中的易誤點，還應了解一些常用結論，最後還要掌握一些的應試技巧。本資料對高中數學所涉及到的概念 公式 常見題型 常用方法和結...
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