求逆矩陣的方法與矩陣的秩
一、矩陣的初等行變換
定義2.13 矩陣的初等行變換是指對矩陣進行下列三種變換：
(1) 將矩陣中某兩行對換位置；
(2) 將某一行遍乘乙個非零常數k；
(3) 將矩陣的某一行遍乘乙個常數k加至另一行.
並稱(1)為對換變換，稱(2)為倍乘變換，稱(3)為倍加變換.
矩陣a經過初等行變換後變為b，用
ab表示，並稱矩陣b與a是等價的.
（下面我們把）第行和第j行的對換變換，簡記為「 ， 」；把第行遍乘k倍的倍乘變換，簡記為「 k」；第j行的k倍加至第行上的倍加變換，簡記為「 + k」.
例如，矩陣 a
（關於初等矩陣內容請大家自己閱讀教材）
二、運用初等行變換求逆矩陣
由定理2.7的推論「任何非奇異矩陣均能經過初等行變換化為單位陣」可知，對於任意乙個n階可逆矩陣a，經過一系列的初等行變換可以化為單位陣i，那麼用一系列同樣的初等行變換作用到單位陣i上，就可以把i化成.因此，我們得到用初等行變換求逆矩陣的方法：
在矩陣a的右邊寫上乙個同階的單位矩陣i，構成乙個n2n矩陣 ( a , i )，用初等行變換將左半部分的a化成單位矩陣i，與此同時，右半部分的i就被化成了.即
( a , i ) ( i ,)
例1 設矩陣 a =
求逆矩陣.
解因為[a , i
所以 =
所求逆矩陣是否正確，可以通過計算乘積矩陣a進行驗證.如果a=i成立，則正確，否則不正確.
對給定的n階矩陣a，用上述方法也可以判斷a是否可逆.即在對矩陣[ a , i ] 進行初等行變換的過程中，如果[ a , i ]中的左邊的方陣出現零行，說明矩陣a是奇異的，即，可以判定a不可逆；如果[ a , i ]中的左邊的方陣被化成了單位陣i，說明a是非奇異的，可以判定a是可逆的，而且這個單位矩陣i右邊的方陣就是a的逆矩陣，它是由單位矩陣i經過同樣的初等行變換得到的.
例2 設矩陣 a =，問a是否可逆？
解因為[ a , i ] =
[ a , i ]中的左邊的矩陣a經過初等行變換後出現零行，所以矩陣a是奇異的，a不可逆.
（下面利用矩陣求逆運算求解矩陣方程.）
例3 解矩陣方程ax = b，其中 a =，b =
解 [思路] 如果矩陣a可逆，則在矩陣方程ax = b等號的兩邊同時左乘，可得
ax = b， x = b
因此，先用初等行變換法判別a是否可逆，若可逆，則求出，然後計算b，求出x .
因為 [ a , i ] =
所以 a可逆，且=
x = b = =
三、矩陣的秩
前面給出了利用矩陣行列式判別方陣a是否可逆的方法，除了這種方法外，還可以利用矩陣a的特徵之一——矩陣的秩來判別方陣a的可逆性.
矩陣的秩是線性代數中非常有用的乙個概念，它不僅與討論可逆矩陣的問題有密切關係，而且在討論線性方程組的解的情況中也有重要應用.
在給出矩陣的秩的概念之前，先要定義矩陣的子式.
定義2.15 在矩陣a中，位於任意選定的k行、k列交叉點上的個元素，按原來次序組成的k階子陣的行列式，稱為a的乙個k階子式.如果子式的值不為零.就稱為非零子式.
例4 設矩陣 a=
取其第一、二行與第
二、四列交叉點上的4個元素按原次序組成行列式
稱為a的乙個二階子式，而且是它的非零子式.
定義2.16 矩陣a的非零子式的最高端數稱為矩陣a的秩，記作或秩(a ) .
規定：零矩陣o的秩為零，即= 0.
例4中的矩陣已經有乙個二階非零子式，通過計算可知，矩陣a的所有三階子式均為零，（該矩陣沒有四階子式），所以= 2 .
例5 設a為n階非奇異矩陣，求.
解由於a為非奇異矩陣，即a對應的行列式，所以a有n階非零子式，故= n .
例5的逆命題亦成立，即對乙個n階方陣a，若= n，則a必為非奇異的.
因此n階方陣a為非奇異的等價於= n.
稱= n的n階方陣為滿秩矩陣.
用定義求矩陣的秩，需要計算它的子式，計算量常常是較大的.利用教材中的定理2.10計算矩陣的秩是比較方便的.
定理2.10 設a為矩陣，則= k的充分必要條件為：通過初等行變換能將a化為具有k個非零行的階梯陣.
例如，階梯陣
a =， b =
因為a的非零行有二行，而b 的非零行有三行，所以a的秩等於2，b 的秩等於3，即= 2， = 3.
那麼乙個矩陣經過初等行變換化成階梯陣後，它的秩是否會發生變化呢？不會的.教材中的定理2.9已經說明這一點.
定理2.9 矩陣經過初等行變換後，其秩不變. （證明見教材
定理2.10給了我們求矩陣的秩的一種簡便方法，即利用初等行變換將乙個矩陣a化成階梯陣，然後算出矩陣a的秩.
例6 設矩陣
a =， b =
求，，.
解因為 a =
所以 = 2
因為 b =
所以 = 3
因為 ab = =
ab =
所以 = 2
由例6可知，乘積矩陣ab的秩不大於兩個相乘的矩陣a , b的秩，即.
總結求逆矩陣方法
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