若矩陣可逆，則方程組有解，且其解為。一般情況下，方程組有解嗎？且其解為何？
§廣義逆及其性質
定義設，若存在滿足：
1）；2）；
3）；4）.
則稱為的廣義逆，記。
以上定義是由penrose提出，故上述四個方程稱為penrose方程。滿足這四個方程的也稱為的moore-penrose逆。
若存在，則；。
定理1.1 設，則的廣義逆存在且唯一。
證明存在性根據的奇值分解知，存在酉陣，使，
其中，為的特徵值。
取，於是
，。很容易驗證滿足penrose四個方程，故的廣義逆存在。
唯一性設為的廣義逆，即滿足penrose四個方程，則
例1。例2 容易驗證：，，
，。例3 設求。
解先用湊的辦法可以求得
，再由例2的結論，可以得到
。定理1.2 設則
（1）；
（2）；
（3）；
（4），其中；
（5）；
（6）；
（7）；
（8），其中u，v為酉陣；
（9）。
證明 （1）～（4）由定義直接驗證；
（5）、（6）和（8），可利用奇異值分解來證明（根據的奇值分解知，存在酉陣，使，其中，為的特徵值，。）；
（7），可根據penrose方程及（2）、（6）證明；
（9）充分性顯然，以左乘即可得到。
定理1.3 設，則
（1）（2）
（3）；
（4）；
（5）；
（6）。
證明 （1），使，
；（2）對，，運用（1）的結論就可以得到；
（3）根據（1），，有
，反之，
，故；由於；
對於，因為是的子空間，又與的秩相等，因此與的維數相等，。
（4）由（3）對用第乙個等式，有，
對用，有，
而，。對於，因為是的子空間，又與的秩相等，因此與的維數相等，。
對於，對運用（3）的最後乙個等式。
（5) 對（3)式的第一項取正交補，即得，又。
另外，。
（6）對用（5）且，則（6）成立。
下面研究與正投影之間的關係。
定理1.4設，，則
1）及2）
證明必要性：（比較定理1.3的（1）、（2））
，，，當時，上述（1），（2）成立。
充分性：
首先，，
又。其次，，分別取及的標準正交基，設為及，則
，（），（），即酉相識於實對稱陣，故為heimite陣，同理可證，為hermite陣，廣義逆定義的式（3）、（4）成了為的廣義逆。
§2 的求法
定理 2.1設，，已知的滿秩分解，其中，分別為矩陣，則
特別，若的秩為，則
若的秩為，則。
證明 1）記，
，2）當時 ，，
當時，，
由（滿秩分解）。
例1，求。
解，， ，
，定理2.2 設，，則
其中為的一組基；為的一組基。
（當時，則，就不出現）。
證明：首先，取一組基，設為，而，設為的一組基，
因為線性無關，而，
所以為的一組基，而，因此
可逆，。
例2 設，其中，，求。
解而可逆，，
對於，，，
取與的列向量組等價的向量組：，為的一組基，。
，，，。
§3廣義逆的應用
在實際問題中，線性方程組往往不相容，其係數是由實驗求得。實質上就是要找使與最「接近」之。
定義設，若滿足
則稱是線性方程組的最小二乘解，所有最小二乘解中長度最小的叫做極小最小二乘解。
顯然，對於相容的線性方程組，它的解與其最小二乘解是一樣的。
定理3.1 設，，則是的最小二乘解
。證明記，由，故可唯一分解為，
其中，於是。
而，故是的最小二乘解。
。注意：雖然線性方程組可能是不相容的，由於，所以一定是相容的。
定理3.2 設，則的最小二乘解之通解為
的極小最小二乘解為，且唯一。
證明找出的通解。
由於，故是的乙個解。
又，故的通解為，其中y為任一中向量，所以的通解即為
，。最後，因為，。
故 ，
當且僅當；所以的極小最小二乘解唯一，為。
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